Zverejnili sme 3. kolo - Milí riešitelia, Na stránke sme už zverejnili posledné kolo tejto série, jeho zadania môžete nájsť aj na tomto odkaze. Termín odovzdania je 4.12., tak hor sa na to, a držíme … Prejsť na článok
×7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Majme zariadenie v tvare trojuholníka ABC, nech D, E sú na strane BC tak, že |BD| = |DE| = |EC|, nech F je stred CA a nech G je na strane AB tak, že 2|BG| = |GA|. Predpokladajme, že uhol \sphericalangle BGE je pravý. Nech P je priesečník DF s AB. Nech veľkosť AP je 8 a obsah ADF je 4. Nájdite veľkosť GE.
Vzorové riešenie
Zo začiatku sa vždy zíde si obrázok nakresliť:
Všimnime si, že bod E je v \frac{2}{3} strany BC, teda výška od úsečky AB bodu E je tiež \frac{2}{3} výšky bodu C od AB, resp. \frac{2}{3} výšky trojuholníku ABC na stranu AB. Keďže uhol \angle BGE je pravý, úsečka GE je práve výška bodu E od AB. Označíme si v výšku \triangle ABC na stranu AB. Teraz zostáva už len ju nájsť.
Keďže bod F je stred úsečky AC, tak vieme, že výška tohto bodu od AB je \frac{1}{2}v. Teda výška trojuholníku APF na stranu AP je \frac{1}{2}v. Keďže \left|AP\right| = 8, môžem zistiť obsah \triangle APF:
S_{APF}=\frac{\frac{1}{2}v \cdot 8}{2}= 2v
Viem teraz zistiť aj obsah \triangle APD, jednoducho tak, že odčítam známy obsah \triangle ADF od S_{APF}:
S_{APD}=S_{APF} - S_{APD}= 2v - 4.
Všimnime si však, že zároveň výška bodu D od úsečky AP, resp. výška \triangle APD na stranu AP je \frac{1}{3}v, keďže D je v tretine BC pri B. Teda si vieme vyjadriť S_{APD} tiež pomocou tejto výšky a dĺžky strany AP:
S_{APD}=\frac{\frac{1}{3}v \cdot 8}{2} = \frac{4}{3}v .
Máme dva rôzne spôsoby, ako si vyjadriť S_{APD}. Tak si ich dajme do rovnosti.
2v - 4 = \frac{4}{3}v .
6v - 12 = 4v .
2v = 12 .
v = 6 .
Takže už vieme výšku trojuholníku APD. Keďže vieme, že dĺžka \left|GE\right| je práve \frac{2}{3} z v, vieme ju teraz už jednoducho vypočítať
\left|GE\right| = \frac{2}{3}v = \frac{2}{3}6 = 4 .
Odpoveď: \left|GE\right|=4