Zverejnili sme 3. kolo - Milí riešitelia, Na stránke sme už zverejnili posledné kolo tejto série, jeho zadania môžete nájsť aj na tomto odkaze. Termín odovzdania je 4.12., tak hor sa na to, a držíme … Prejsť na článok
×6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Za okrúhlym stolom sedí 420 výprav z rôznych kráľovstiev. Presne polovica kráľovstiev vyslala ako výpravu iba svojho kráľa, a druhá polovica s ním vyslala aj kráľovnú. Bez ohľadu na usadenie výprav, dokázali by sme rozdeliť stôl na dva súvislé neprekrývajúce sa úseky tak, aby každá výprava bola v nejakom úseku a každý úsek obsahoval rovnako veľa ľudí? A čo ak by boli úseky 3? Vedeli by sme to spraviť aj vtedy? Ak áno, nezabudnite ukázať, že to ide vždy.
Vzorové riešenie
Polovica královsitev vyslala jedného človeka a polovica vyslala dvoch ľudí, takže celkovo za stolom sedí 210 + 210 \cdot 2 = 630 ľudí. Rozdeľme si stôl na dva úseky, tak aby v oboch úsekoch bolo 210 výprav, a pozrime sa na počet ľudí v nich – ak jeden úsek obsahuje n ľudí, druhý bude obsahovať 630 - n ľudí. Ak teraz priamku, ktorá tieto dva úseky rozdeľuje, otočíme o jednu výpravu po smere hodinových ručičiek, do oboch úsekov pribudne jedna výprava a jedna ubudne.
Máme niekoľko možností: do úseku pribudne dvojčlenná a odíde jednočlenná – v tomto prípade sa počet ľudí v tomto úseku zväčší o 1, do úseku pribudne jednočlenná a odíde dvojčlenná výprava – v tomto prípade sa počet ľudí v tomto úseku zmenší o 1, do úseku pribudne aj odíde jednočlenná výprava, do úseku pribudne aj odíde dvojčlenná výprava – v oboch týchto prípadoch sa počet ľudí vo výprave nezmení.
Vidíme teda, že počet ľudí sa otočením o jednu výpravu vie zmeniť iba o 1. Zároveň vieme, že ak rozdeľovaciu priamku otočíme 210-krát, úseky sa nám vymenia a náš úsek bude mať 630 - n ľudí. Keďže teda vieme meniť počet ľudí v úseku vždy iba o 1, musel náš úsek niekedy v procese otáčania nadobudnúť všetky hodnoty medzi n a 630-n, a teda aj hodnotu 315, čo je presne polovica. Ak počet ľudí v jednom úseku je presne polovica, v druhom bude počet rovnaký, čiže vždy bude existovať také rozdelenie, v ktorom budú mať oba úseky rovnako veľa ľudí.
Pozrime sa teraz na prípad, kedy sú úseky tri. V každom úseku teraz musí byť 210 ľudí. Ak sú výpravy za stolom rozdelené tak, že niekde sedí jedna výprava s veľkosťou 1 a na oboch stranách okolo nej je 105 výprav s hodnotou 2. Úsek, v ktorom bude táto osamelá jednotka, musí mať párny súčet (210), teda musí obsahovať ešte aspoň jednu jednotku. Medzi najbližšou jednotkou však je 105 výprav veľkosti 2, takže úsek musí obsahovať aj tie. V takom prípade ale bude počet ľudí v ňom aspoň 105\cdot 2+1= 211 a to už je priveľa. Ak máme tri úseky, rozdelenie, kde budú všetky mať rovnakú hodnotu teda neexistuje.