Odporúčaný článok

Zverejnili sme 3. kolo - Milí riešitelia, Na stránke sme už zverejnili posledné kolo tejto série, jeho zadania môžete nájsť aj na tomto odkaze. Termín odovzdania je 4.12., tak hor sa na to, a držíme … Prejsť na článok

×

4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

Kód k číselníku je také číslo, ktoré je jedenásť násobkom svojho ciferného súčtu. Nájdite všetky čísla, ktoré môžu byť kódom a ukážte, že žiadne iné nemôžu existovať.

Vzorové riešenie

Opravovali: AlenaChladna, MaxJanJager, alic

Odpoveď:

Najskôr sa zamyslíme, koľko cifier môže mať číslo k. Najrozumnejšie je sa zamyslieť, koľko najviac cifier môže mať - ako náhle zistíme túto informáciu, počet možností sa nám mnohonásobne zmenší.

Dobrým začiatkom je si tipnúť - vyskúšať napríklad štvorciferné. Pri ňom platí, že najväčší možný ciferný súčet je 9+9+9+9 = 36 a 36*11 je 396. Toto sa ani zďaleka nepribližuje ku 1000 a preto vieme, že k bude najviac trojciferné. Tu ešte treba spomenúť, že pre všetky väčšie čísla(päťciferné, šesťciferné...) to bude fungovať rovnako, nakoľko 11 násobok ciferného súčtu rastie pomalšie, ako samotné číslo. (Ciferný súčet sa zvýši o 99, kým samotné číslo sa zvýši 10 krát).

Ak je k jednociferné:

Vieme že k musí byť deliteľné 11 (je jedenásť násobkom svojho ciferného súčtu) a jediné takéto jednociferné číslo je 0.

Ak je k dvojciferné:

Keďže k je deliteľné 11, tak môže byť niektoré z čísel 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, ktorých ciferné súčty sú postupne 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18. Tu ale môžeme vidieť že ani jedno k nie je jedenásť násobkom svojho ciferného súčtu a teda k nebude dvojciferné.

Ak je k trojciferné:

Rozložíme si číslo ABC na 100*A + 10*B + C. Zo zadania nám vyplýva, že

100*A + 10*B + C = 11*(A+B+C)

Keď si roznásobíme zátvorku, a odčítame pravú stranu od ľavej, dostaneme

89*A - B - 10*C = 0

Prehodíme záporné členy na pravú stranu:

89*A= B + 10*C

Z tohto je očividné, že A môže byť najviac 1, nakoľko pravá strana vie byť najviac 9+90=99. Keby je A 2, tak ľavá strana je 178, a keby je A ešte viac, rozdiel medzi ľavou a pravou stranou by sa len zvyšoval.

Z toho nám vyplýva, že číslo s najväčším ciferným súčtom je 199 ktorého ciferný súčet je 1+ 9 +9 = 19. K je teda najviac ak 19 * 11 = 209.

Zostávajú nám teda čísla 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198 a 209 - všetky trojciferné násobky čísla 11 menšie alebo rovné ako 209. Tieto čísla majú ciferné súčty postupne 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 a 11. Aby sme našli správne k, teraz musíme nájsť znova ich jedenásť násobky: 22, 44, 66, 88, 110, 132, 154, 176, 198 a 121. Môžeme si všimnúť že jediné číslo ktoré sa rovná 11 násobku svojho ciferneho súčtu je 198.

Všetky riešenia sú: 0 a 198