3. príklad - Vzorové riešenie

Nazvime si dĺžky strán obdĺžnika a,b. Z obdĺžnika najprv preškrtneme jedno políčko za každý riadok (preškrtnutý stĺpec) a jedno políčko za každý stĺpec (preškrtnutý riadok). Jedno políčko ale preškrtneme dva krát, keďže je aj v riadku aj stĺpci ktorý preškrtávame. Preto odčítané množstvo políčok bude a+ b-1. Zo zadania vieme, že po preškrtnutí riadku a stĺpca odoberieme 25 políčok, teda:

a+b-1 = 25 \\ a+b = 26

Ďalej vieme, že po odčítaní riadku a stĺpca bude počet políčok deliteľný 7. Nazvime si dĺžky strán nového obdĺžnika a_2, b_2, teda

a_2 = a-1 \\ b_2 = b-1 \\ a_2 + b_2 = 26-1-1=24

Zároveň bude mať nový obdĺžnik obsah a_2 \cdot b_2 o ktorom vieme, že má byť deliteľný siedmimi. Keďže 7-ku nevieme vyskladať ako súčin žiadnych dvoch menších prirodzených čísel (7 je prvočíslo), tak aspoň jedno z a_2,b_2 musí byť deliteľné siedmimi. Na násobok 7 a druhé číslo, s ktorým dáva súčet 24 máme tri možnosti: 7+17, 14+10, 21+3. 

Zadanie sa pýta len to, ktoré z týchto možností (resp. o 1 väčších v obobch rozmeroch) vyhovujú. Pre každú možnosť preto stačí buď nájsť spôsob ako preškrtnúť 67 políčok, alebo ukázať že sa to nedá.

• 7,17:  Z obdĺžnika s obsahom 7\cdot17 = 119 môžeme škrtnúť 3 riadky so 17 políčkami. Spolu ostane obdĺžnik s rozmermi 4\cdot17 a už len vyškrtneme 4 stĺpce dĺžky 4. Dokopy budeme mať vyškrtnutých 3 \cdot 17 + 4 \cdot4 = 67 políčok a teda táto možnosť sedí.
• 14,10: Z obsahu vyškrtneme 67 políčok, čím dostaneme 14 \cdot 10-67=73 políčok. Žiadne rozmery tabuľky však nemôžu vytvoriť 73 políčok, pretože je to prvočílslo (nevieme ho rozdeliť na žiaden iný počet rovnakých stĺpcov ako na 1 \cdot 73, toľko ich však nemáme)
• 21,3: Obdĺžnik by mal obsah 3\cdot21 = 63, čo je menej ako 67 a táto možnosť nesedí.

Odpoveď: Obdĺžnik mohol mať rozmery 8\cdot18, iné možnosti sme vylúčili.