8. príklad - Vzorové riešenie

Pozrime sa na rozdiel hodnôt s(p\cdot q+800) a s(p\cdot q+799)

Ak posledná cifra p \cdot q nie je 0, rozdiel hodnôt bude 1, lebo p\cdot q+800 a p\cdot q+799 sa budú odlišovať iba na mieste jednotiek. 

Ak je posledná cifra p\cdot q  nula, aj posledná cifra p⋅q+800  bude 0. Ak od tohto čísla odčítame 1 aby sme dostali p\cdot q + 799, budeme musieť prechádzať cez desiatku, a teda rozdiel nebude 1.

Nech

  s(p\cdot q+800)- s(p\cdot q+799)=1

Pôvodná rovnica sa nám teda upraví na 1+s(p)\cdot s(q+1)=s(2p), pričom s(2p) bude najviac 2\cdot s(p), a to vtedy, keď neprechádzame cez desiatku. 

Rovnicu si teda vieme upraviť na

s(p)\cdot s(q+1)+1<=2\cdot s(p)

Z toho vidíme, že s(q+1) je najviac 1. Na to ale q musí byť buď 0 alebo mať iba cifry 9 (napríklad 9999). Pri oboch týchto možnostiach však q nie je prvočíslo (číslo zo samých 9 má ciferný súčet deliteľný 9, teda je deliteľné 3aj 9), a preto táto možnosť nefunguje.

Pozrime sa teraz na druhú možnosť, kedy posledná cifra p\cdot q je 0. p\cdot q potom musí byť deliteľné 10, a keďže p aj q sú prvočísla, jediná možnosť je, že jedno z nich je 2 a druhé 5, lebo 10=5\cdot 2.

Ak p=5, q=2:

 s(2\cdot 5+800)+s(5)\cdot s(2+1)=s(2\cdot 5+799)+s(2\cdot 5)

s(810)+s(5)\cdot s(3)=s(809)+s(10)

9+15=17+1

24\neq18

Táto možnosť teda nefunguje.

Ak p=2,q=5:

s(2\cdot5+800)+s(2)\cdot s(5+1)=s(2\cdot 5+799)+s(2\cdot2)

s(810)+s(2)\cdot s(6)=s(809)+s(4)

9+12=17+4

21=21

Jediné riešenie je teda p=2, q=5