7. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvé si potrebujeme zadanie prepísať do nejakej rovnice, s ktorou budeme môcť pracovať - upravovať ju. Ak umiestnime znamienko krát medzi stovky a desiatky čísla, dostaneme súčin, označme si ho A\times B. Naše pôvodné číslo teda vyzerá ako \overline{aaabb} (kde ľubovoľný počet a-čok reprezentuje cifry čísla A, a \overline{bb} reprezentuje cifry čísla b), alebo inak povedané n=100\times A+B (\overline{aaa00}+\overline{bb}). Potom teda zadanie hovorí, že:

A\times B=\frac{100A+B}2

Z tejto rovnice si skúsime vyjadriť B úpravami:

2AB=100A+B

2AB-B=100A

B(2A-1)=100A

B=\frac{100A}{2A-1}

Vieme, že A aj B sú celé čísla. Neostáva teda príliš veľa možností, ako rovnicu vyriešiť. 2A-1 musí byť deliteľom 100A. Zároveň vieme, že 2A-1 je nesúdeliteľné s A, pretože všetky delitele A sú aj deliteľmi 2A, a číslo o 1 menšie isto deliť nebudú (okrem triviálneho deliteľa - jednotky). Takže 2A-1 musí byť deliteľom čisto 100-ky. Zároveň vieme že je to nepárne číslo, a nepárne delitele čísla 100=5\times 5\times 2\times 2 sú iba mocniny 5: 1, 5 a 25.

Z každého dostaneme konkrétnu hodnotu A (pripočítame 1 a vydelíme dvomi): 1, 3 a 13, a to už je dostatočne málo riešení na to, aby sme ich mohli len vyskúšať. Vieme, že žiadne iné riešenia nemôžu byť, pretože potom v akomkoľvek inom prípade by B nevychádzalo celé číslo.

Ak A=1:

B=\frac{100}1=100

To je viac ako 99, čo je najväčšie možné B, keďže je tvorené dvomi ciframi

Ak A=3:

B=\frac{100\times 3}{5}=60

n=360

vložíme krát:

3 \times 60=180=\frac{360}2

sedí, máme prvú odpoveď 360

Ak A=13:

B=\frac{100\times 13}{25}=52

n=1352

vložíme krát:

13\times 52=676=\frac{1352}2

sedí, druhá odpoveď je 1352

Odpoveď: 360; 1352