5. príklad - Vzorové riešenie

Začnime tým, že si doplníme označenie pre zvyšné 2 políčka.

Teraz si potrebujeme uvedomiť dve veci ohľadom zadania:

Po prvé, všetky čísla v pyramíde sú kladné celé. To znamená, že pod každým číslom je len konečne veľa kombinácií, ktorých súčet dáva to číslo. Napríklad: 4=1+3=2+2=3+1
Taktiež to hovorí, že C,F,D sú aspoň 1, z čoho vyplýva, že E,B sú aspoň 2 a A je aspoň 4

Je dôležité si ale uvedomiť, že ak poznáme číslo, nehovorí nám to veľa o číslach nad ním.
Kebyže napríklad B=5, tak jediné čo vieme, je že A ktoré sa rovná E+B, je viac alebo rovné, ako 2+5 (keďže E je aspoň 2). To nám ale nedáva žiadne horné ohraničenie, teda A môže byť hocičo väčšie ako 6, čo už nie je konečne veľa možností.

Po druhé, musíme správne pochopiť výrok Agenta OP. Rozdeľme si ho na jeho dve časti:

Najprv povedal, že nevie akú silu majú všetci agenti.
Keďže pozná sily B a C, tak jediné čo nám to hovorí, je že B\neq2 , pretože kebyže B=2, tak vieme, že F=D=1, a potom vie dopočítať všetky hodnoty. Kebyže je ale B väčšie, tak nemá ako povedať ktorá z možností to bude, lebo C samo o sebe už žiadnu podstatnú informáciu o ostatných nedáva.

Podruhé povedal, že nevie, či to vie Agentka XY dopočítať bez toho aby počula tú vetu.
Toto vie byť veľmi ťažké na spracovanie, preto sa na to pozrime poriadnejšie.

Môžeme sa pozrieť na opak tohto výroku aby sme vedeli ako veci určite nie sú.
Opak by bol: Viem že to nevieš dopočítať bez toho aby si počula túto vetu.

Čo by toto znamenalo? Spomeňme si, že veľkosť čísla obmedzuje veľkosť čísiel pod ním a teda to zužuje na konečné množstvo kombinácií.

Agentka XY pozná A, D. Vieme ale keďže sa jedná o súčkovú pyramídu, tak:

A=E+B=(C+F)+(F+D) \\ A=C+2F+D \\ A-D=C+2F

Keďže C,F\ge1 tak A-D\ge3
Všimnime si, že agentka XY, pozná hodnotu A-D, a že agent OP vie že ju pozná.

Naďalej si všimnime, že keď A-D\leq4, tak v kladných celých číslach, je len jedna možnosť pre hodnoty C,F. 

Konkrétne keď A-D=3 tak C=1, F=1 a keď A-D=4 tak C=2, F=1
Naopak, keď A-D\ge5, tak je už viacero možností na hodnoty C,F. Všimnime si, že kebyže Agent OP vie, že A-D\ge5, tak vie, že Agentka XY nemá ako zistiť všetky čísla sama od seba.

Keďže Agent OP vie C, tak ak by C\ge3 tak, vie, že A-D=C+2F\ge5 a teda vie, že Agentka XY nemá ako zistiť sama od seba čísla. Keďže ale povedal, že nevie či to vie, tak C\le2.

Teda Agentka XY vie, že C\le2 Ako ale zistí, či je to 1 alebo 2?
Pozrime sa znova na rovnicu A-D=C+2F

Keďže 2F je vždy párne, takk by A-D bolo nepárne, tak vie, že C musí byť nepárne.
Podobne, ak by bolo A-D párne, tak i C musí byť párne.

Keďže Agentka XY pozná A-D a teraz už vie, že C je 1 alebo 2, tak už si vie dorátať, ktorá z tých dvoch hodnôt to je.

Teraz už Agentka XY pozná A,C,D a zvyšné už vie dopočítať nasledovne:

A-D=C+2F \ /-C \\ A-C-D=2F \ /:2 \\ F=\frac{A-C-D}{2} \\ E=C+F \\ B=F+D