3. príklad - Vzorové riešenie

Aby sa nám v riešení rozumne vyjadrovalo, označme si riadky od 1 do 6 zhora dole a stĺpce od A do H zľava doprava. Pričom v stĺpci A a H sú vždy len dva štvorčeky, tie v riadkoch 3 a 4.

Budovy rôznych typov (čísel) sa navzájom neovplyvňujú. (Samozrejme s výnimkou toho, že nemôžu byť na rovnakom políčku.) Oplatí sa teda ísť postupne po typoch budov a zapisovať si, kde môžeme uložiť ďalšie budovy tohto typu. Ktorými budovami však chceme začať? Jednotkovými? Šestkovými? Skúsme sa nad tým trošku zamyslieť, aby sme hlbšie pochopili ako to s tými vzdialenosťami vlastne funguje.

Pozrime sa kde všade by mohli byť budovy rovnakého typu ak už je nejaká budova položená na plániku. Modrou si vždy označíme budovu, ktorá na plániku už položená je. Žltou budú budovy, ktoré k nej môžeme pridať, lebo sú od nej na vzdialenosť N.

Takto to bude vyzerať pre jednotku. Aspoň 2 z tých štyroch žltých budov tam nutne musia byť, aby platilo, že sú od nej vzdialené 1.

Pre dvojkovú budovu si zase musíme vybrať dve z týchto budov (označených žltou). 

A pre trojky to bude vyzerať takto:

Môžete vidieť, že pre každú z budov sú jej možní parťáci na obvode takého žltého diagonálneho štvorca.

Pre veľké čísla bude veľká časť tohto štvorca ležať mimo tabuľky. Takže napriek tomu, že tých políčok na vyskúšanie je dokopy viac (kedže štvorec je väčší), iba pár z nich sa nám zmestí do tabuľky. Preto nám v skutočnosti bude stačiť vyskúšať menej políčok, na ktorých by mohli byť susedné budovy. To znamená že sa oplatí začať s veľkými číslami. Tak začnime so šestkou.

Od tejto šestkovej budovy na políčku F5 si vyznačme modrou políčka na ktorých môžu byť ďalšie šestkové budovy. A to tak, že bude splnená podmienka, že sú od nej vzdialené N (teda 6). Tieto možnosti sú len tri. (Tu vidíme že sa oplatilo začať šestkou ;).) Na tieto políčka treba položiť dve budovy.

Predstavme si, že dáme šestkovú budovu na 3B. Poďme sa pozrieť na ďalšie políčka kam môžeme dať druhú šestkovú budovu.

Všimnime si, že tieto políčka sú od našej novej budovy vzdialené o menej ako 6. A teda nevieme umiestniť druhú šestkovú budovu pre F5. Zostávajú nám preto tieto dve políčka na naše dve budovy.

Teraz poďme na päťkové budovy. Začnime tou vpravo dole, na políčku G5. Opäť si označme políčka, ktoré sú od päťkovej budovy na mriežke vzdialené 5.

Teraz z nich dajme preč tie políčka, ktoré sú k druhej päťkovej budove na políčku 2B bližšie ako 5. Sú to políčka E2 a C4, zafarbíme si ich na bledočerveno.

Zostali nám dve políčka na dve budovy, čo je presne počet, ktorý potrebujeme.

Zároveň si všimnime, že nám zostali iba políčka vzdialené o 5 od oboch päťkových budov. Teda máme štyri päťkové budovy, a každá má dvoch susedov vzdialených 5. 

Tým máme päťky vyriešené.

Poďme na štvorkové budovy. Začnime štvorkovou budovou na políčku H4. Vyfarbime si políčka, ktoré sú o 4 vzdialené od tejto budovy.

Dajme preč políčka ktoré sú bližšie ako 4 k nejakej ďalšej štvorkovej budove. Konkrétne je také políčko jedno, a to políčko E5.

Ak by budova bola na jednom z troch bledozelených políčok označených nižšie, tak by bola vzdialená 4 od troch štvorkových budov. Konkrétne budov na C1, F6 a H4. Preto na nich budova 4 byť nemôže.

Zostalo nám jedno políčko pre jednu štvorkovú budovu, čo je presne to, čo k budove na H4 potrebujeme.

Teraz si zafarbime políčka vzdialené 4 od budovy na F6. Všimnime si, že tri z nich sme už vylúčili vyššie a na jedno sme už budovu uložili. Máme na teda výber dve políčka: B6 a C5.

Skúsme položiť budovu na políčko B6.

Štvorková budova na B6 potrebuje ešte jednu budovu vzdialenú 4. Vyfarbime políčka vo vzdialenosti 4 od B6.

Políčko E5 je bližšie ku inej štvorke ako 4. Na políčku D4 by bola budova vzdialená N políčok od až 3 budov, čo nám nespĺňa podmienku 2. Políčko C3 je blízko štvorky na C1.

To znamená že na políčku B6 štvorková budova byť nemôže.

Štvorková budova teda musí byť na C5.

Týmto je zároveň splnená podmienka aj pre budovu na C1.

Pokračujme s trojkovými budovami. Pre A3 existujú len dve neobsadené políčka, ktoré sú od nej vzdialené 3. Tak tam určite musia byť trojkové budovy.

B1, ktorú sme práve doplnili, je spojená s jednou budovou na A3 takže pre ňu musíme nájsť ešte jednu budovu. Ak by sme položili budovu na C3 alebo B4 tak by táto budova bola príliš blízko iných trojkových budov. Od políčka D2 existujú až tri trojkové budovy, ktoré od neho majú vzdialenosť 3, čo je v rozpore so zadaním. Preto trojková budova musí byť na políčku E1.

Teraz sa pozrime na G2. K budove na tomto políčku treba nájsť ešte jednu. Z možných políčok, D2 a E3 sú príliš blízko k trojke na E1. Teda jediné možné políčko je F4.

Všetky trojkové budovy majú práve dvoch susedov vzdialených 3 a zároveň sa už nedá umiestniť žiadna ďalšia trojková budova.

Pokračujme s dvojkami. Pre B5 existujú len dve políčka vzdialené o 2. Teda dvojky na týchto políčkach sú jednoznačne dané. 

Dvojka na políčku D5 potrebuje ešte jednu dvojku, a políčko E6 je jediná možnosť.

Dvojka na políčku E5 však tiež potrebuje jednu dvojku. Ak sa pozrieme na políčka, ktoré sú od nej vzdialené o 2, jediná možnosť je políčko E6.

Od dvojky na E6 treba ešte určite dať dvojku aj na G4.

Lenže pri dvojke na G4 máme dve možnosti.

Poďme sa teda radšej presunúť na budovu na C2, niekedy sa oplatí ísť na takéto prípady akosi "z druhého konca" ;). C2 potrebuje ešte jednu dvojku. Jediná možnosť je na E2. Dáme ju teda tam.

Dvojka na E2 potrebuje druhú dvojku. Jediná možnosť je na F3. Tým sme si mimochodom vyriešili aj dvojku na G4.

Takže dvojky by sme mali.

Poďme sa pozrieť na jednotky.

Začnime tou na E4. Máme tri možnosti, kam umiestniť jednotky tak, že od nej budú vzdialené 1, a to políčka E3, D4 a E5. V prípade, že by sme dali jednotku na E5, nevieme tejto jednotke už dať ďalšiu dvojičku.

Takže jednotky musia byť v políčkach E3 a D4, čím máme splnené všetky podmienky pre všetky budovy.

 Odpoveď:

Takže jediné riešenie úlohy je toto: