2. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6

Zadanie

Reťaz na ktorej je pripevnený kotviaci hák, vyzerala v jednom momente ako na obrázku. Problém je, že ako každá reťaz, je zložená z pevných očiek (trojuholníky, kružnice, alebo šesťuholníky), ktoré sa vedia po sebe posúvať. Očká teda vedia meniť svoju polohu, avšak keď sa dve z nich dotýkajú na obrázku, tak sa budú dotýkať vo všetkých polohách reťaze, nie nutne v tom istom bode. Ďalej vieme, že šesťuholník a trojuholník sú pravidelné a majú dĺžku strany 1m, kružnice majú polomer 1m. Adama by veľmi zaujímalo ako najviac sa môže reťaz natiahnuť (nechce ňou poškodiť iné vzducholode :). Zistite to preňho a ukážte, že určite nemôže byť dlhšia.

Vzorové riešenie

Opravovali: Chiarka, klarka.9, mati

Najprv nájdime najväčšie vzdialenosti, ktoré môžu mať dva body, ktoré sa nachádzajú na tom istom útvare z reťaze.

Ak je útvarom:

  • kružnica: Najväčšia vzdialenosť 2 bodov na nej je priemer a ten je dvojnásobkom polomeru, takže 2m.
  • pravidelný šesťuholník: Pravidelný šesťuholník si vieme rozdeliť na 6 rovnostranných trojuholníkov. Ďalej mu opíšme kružnicu. Keďže pravidelný šesťuholník je symetrický, tak jej stred bude ležať v bode S. Dané trojuholníky sú rovnostranné, takže táto kružnica má polomer 1m. Celý šesťuholník leží vo vnútri tejto kružnice. Preto najväčšia vzdialenosť medzi dvoma bodmi v šesťuholníku je najviac toľko, čo najväčšia vzdialenosť v kružnici, ktorá je 2m. Túto vzdialenosť vieme dosiahnuť napríklad voľbou dvoch protiľahlých vrcholov.

  • rovnostranný trojuholník: V rovnostrannom trojuholníku je najväčšia vzdialenosť dvoch bodov dĺžka hrany tohoto trojuholníka a teda 1m.

Rozdelme si našu reťaz na strednú časť E a 4 prívesky A,B,C a D. Zrátajme si ich dĺžky:

  • A: Ide o trojuholník, takže dĺžka je 1m.
  • B: Ide o kružnicu, takže dĺžka je 2m.
  • C: Ide o kružnicu, ktorú vieme predĺžiť ešte o trojuholník, takže dĺžka je 2m+1m=3m
  • D: Mohlo by nás lákať povedať, že ide o 4 trojuholníky, ale všimnime si, že trojuholník 9 vie mať najvzdialenejší bod od šesťuholníka 5 vzdialený iba o 2m, lebo je k nemu pripojený trojuholníkom 8. Rovnako pre trojuholník 10. Trojuholníky 8 a 11 môžu byť od seba vzdialenejšie, ale je jasné, že nebudú oba súčasťou najdlšieho predĺženia kotevnej reťaze. Dĺžka je teda 2m.
  • E: Predĺženie 2 šesťuholníkov a kružnice je maximálne 2m+2m+2m=6m.

Nakoniec si musíme rozmyslieť ktoré z príveskov a útvarov strednej časti budú v najväčšom predĺžení. Keď sa chvíľku zamyslíme nad možnosťami, tak uvidíme, že najväčšie predĺženie dosiahneme, ak v ňom bude stredná časť a prívesky B a C. Dokopy predĺženie bude 2m + 6m +3m =11m. Natiahnutá reťaz bude vyzerať napr. ako na obrázku.

Odpoveď: Reťaz držiaca kotvu vie mať najviac 11m

Komentár:

Príklad väčšina z vás pekne vyriešila. Stačilo to zdôvodniť menej formálne ako vo vzorovom riešení, ktoré tiež necháva niektoré otázky otvorené. Hlavným cieľom bolo aby ste sa pohrali s priestorovou predstavivosťou a to sa podarilo. K častým problémom patrilo, že ste si neuvedomili, že v ľavej časti reťaze má kružnica väčší priemer, ako je dĺžka strany trojuholníka, poprípade ste nevysvetlili, prečo je vpravo vhodnejšie zvoliť do najdlhšieho rozmeru prívesok C a nie D.