10. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Majme trojuholník ABC so stredom kružnice vpísanej I. Nech sa preklopenie priamky AB cez priamku CI a preklopenie priamky AC cez priamku BI pretnú v bode X. Dokážte, že priamka XI je kolmá na priamku BC.

Vzorové riešenie

Opravovali: JakubK, Kuchino, lukas

Označíme si A_B, A_C, B', C' postupne A preklopené cez CI, A preklopené cez BI, B preklopené cez CI a C preklopené cez BI. Potom priamka AB preklopená cez CI je priamka A_BB'. Podobne priamka AC preklopená cez BI je priamka A_CC'. Teda bod X je priesečník priamok A_BB' a A_CC'. Nakoniec si označme E = BI \cap AC a F = CI \cap AB.

Bod A_B leží na priamke BC, keďže |\sphericalangle A_BCI| = |\sphericalangle ACI| = |\sphericalangle ICB|, kde prvú rovnosť máme z definície bodu A_B a druhú rovnosť máme z toho že I je stred kružnice vpísanej ABC, teda CI je os uhla \sphericalangle BCA. Rovnakým argumentom môžeme dostať, že A_C leží na priamke BC, C'B' leží na priamke AC a C' leží na priamke AB.

Keďže A_B je A preklopené cez CI a keďže F \in CI, tak |\sphericalangle A_BFC| = |\sphericalangle CFA|. Ďalej už vieme, že |\sphericalangle A_BCF| = |\sphericalangle FCA| a taktiež |CF| = |CF|. To znamená, že trojuholníky A_BCF a ACF sú zhodné. Z toho dostávame, že |\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle CA_BB'|. Analogicky vieme dostať, že trojuholiky ABE a A_CBE sú zhodné, teda |\sphericalangle BAC| = |\sphericalangle EA_CC|. Spojením rovností dostávame, že |\sphericalangle EA_CC| = |\sphericalangle CA_BB'|, teda trojuholník A_BA_CX je rovnoramenný so základňou A_BA_C.

Nech \omega je kružnica vpísaná trojuholníku ABC. Preklopenie \omega cez priamku BI je zase \omega, keďže BI prechádza jej stredom I. To znamená, že keď AC sa dotýkalo \omega, tak potom aj preklopenie AC, priamka A_CC', sa dotýka \omega. Analogicky sa A_BB' dotýka \omega. Keďže sa však aj BC dotýka \omega, tak sme dostali, že \omega je kružnica vpísaná trojuholníku A_BA_CX. To však ale znamená, že XI  je os uhlu \sphericalangle A_BXA_C. Avšak keďže A_BA_CX je rovnoramenný, tak os uhlu a výška oproti základni splývajú, teda XI je tiež výška v trojuholníku A_BA_CX, teda XI \perp BC.