Keď si skúsime ukladať autá do roviny, zistíme, že sa nám nedarí umiestniť viac, ako dve z každej farby (dokopy 6 áut). Poďme teda dokázať, že sa naozaj nedajú tri autá z jednej farby.
Predpokladajme, že by sme z niektorej farby mali tri autá. Tieto tri autá nemôžu byť na jednej priamke, teda tvoria nejaký trojuholník:
Na každej strane tohto trojuholníka musí byť auto niektorej zo zvyšných dvoch farieb. Sú dve možnosti - buď môžu byť obe rovnakej farby, alebo dve rovnakej a jedna inej:
Vidíme, že ak sú všetky rovnakej farby, tak v našom trojuholníku vznikol menší trojuholník jednej farby.
Ak sú dve z tých áut rovnakej farby a jedno inej, tak na úsečke, ktorá spája tie dve autá rovnakej farby musí byť nejaké auto. Sú znova dve možnosti - buď je to auto rovnakej farby, ako pôvodné tri (na našom obrázku modrá), alebo rovnakej, ako vrchol na tretej strane (na našom obrázku zelená).
Ak je auto modré (rovnaké ako pôvodné tri), tak máme menší trojuholník áut rovnakej farby.
Ak je auto zelené (tej farby ako to tretie), na spojnici dvoch zelených áut musí byť ešte jedno. Znova sú dve možnosti - buď je modré (také, ako pôvodné tri), alebo červené (také, ako dve na stranách pôvodného trojuholníka).
Ak je modré, máme menší trojuholník áut rovnakej farby
A ak je červené, tiež taký máme.
Zistili sme teda, že ak máme ľubovoľný trojuholník áut rovnakej farby, vieme nájsť nejaký menší trojuholník áut rovnakej farby. V tomto trojuholníku vieme nájsť ďalší, ešte menší, v ňom ešte menší... čo zjavne s konečným počtom áut nemôže fungovať.
Ak by sme to chceli napísať formálne poriadnejšie, mohli by sme napísať niečo takéto:
Povedzme, že by sa dalo uložiť do roviny viac, ako 6 áut. Potom by z Dirichletovho princípu musela byť aspoň jedna trojica z nich rovnakej farby. Vyberme z týchto trojíc tú, ktorá má najmenší obsah trojuholníka, ktorý je ňou tvorený. Tak, ako sme ukázali vyššie, z toho vyplýva, že existuje ďalšia trojica bodov rovnakej farby, ktorá má menší obsah trojuholníka, čo je spor.
Najväčší počet bodov, ktoré sa teda môžu dať umiestniť do roviny je 6. Ešte ostáva overiť, či sa toľko umiestniť naozaj dá. To po chvíľke skúšania ľahko nájdeme - napríklad sa dá dať všetkých šesť na jednu priamku v poradí modré, červené, zelené, modré, červené, zelené.
