8. príklad - Vzorové riešenie

Na všetky prvočísla sa budeme pozerať ako zvyšok po delení troma. Je to kvôli tomu, že súčet troch prvočísel môže byť vždy nepárny, teda nám nepomôže sa na ne pozerať ako zvyšky po delení dvoma. Trojka je stále dostatočne malá, že má málo zvyškov a nemá problém s paritou, ktorý má dvojka. Zišlo by sa teda spomenúť, aké všetky zvyšky vieme po delení troma dostať. Sú to 0, 1 a 2.

Súčet troch prvočísel je aspoň 2+2+2=6, teda nemôže byť rovný 3. Teda ak je deliteľný 3, tak nemôže byť prvočíslo (jediné prvočíslo deliteľné 3 je 3) 

Ďalej ak sa nám podarí dokázať, že pre počet káblov x, to nemôže fungovať a pre počet káblov x-1 existuje aspoň jedna možnosť, ktorá funguje, tak máme vyriešený príklad.

Poďme teda dokázať, že pre počet káblov 5 to nie je možné. Máme k dispozícií tri zvyšky po delení troma a päť rôznych káblov, ku ktorým máme tieto zvyšky prideliť, tak aby súčet žiadnych troch nebol deliteľný troma. Ak sa to nedá, tak niektorý zo súčtov bude zaručene deliteľný 3 a teda nebude prvočíslo a teda káblov nemôže byť 5.

Máme k dispozícií tri rôzne zvyšky a päť káblov, teda nám vznikajú dve možnosti rozdelenia. Buď budeme mať z jedného zvyšku aspoň tri kusy. Druhá možnosť je, že budeme mať dva kusy z prvého zvyšku, dva kusy z druhého zvyšku a jeden kus z posledného zvyšku.(Zároveň ten kábel, ktorý má zvyšok po delení 0 musí mať na sebe číslo 3, pretože inak by to nebolo prvočíslo.)

Teraz keď máme súčet troch čísel s rovnakým zvyšok po delení troma, tak výsledok bude určite deliteľný troma. Označme si tieto čísla v súčte: 3n+z,\ 3m+z,\ 3k+z, pričom z je 0, 1 alebo 2, ale my nevieme, ktoré z nich. Ich súčet bude teda (3n + z) + (3m + z) + (3k + z) = 3(n + m + k) + 3z = 3(n + m + k + z). Z tohto vidíme, že výsledný súčet bude určite deliteľný troma.

Keď máme súčet čísel, ktoré majú všetky tri rôzny zvyšok po delení troma, tak ich súčet bude tiež deliteľný troma. Tie tri zvyšky sú 0, 1, 2. Súčet týchto čísel vieme teda označiť nasledovne: (3n + 0) + (3m + 1) + (3k + 2) = 3(n + m + k) + 3 = 3(n + m + k + 1), teda ich výsledok musí byť deliteľný troma.

Z tohto nám vyplýva, že hocijako by sme rozdelili prvočísla pre päť káblov, zakaždým by bol aspoň jeden súčet troch káblov deliteľný troma, teda by nebol prvočíslom.

Tak a teraz nám zostáva nájsť už iba jeden príklad rozdelenia prvočísel pre 4 káble, aby sme dokázali, že na stene môžu byť najviac 4káble, pretože my nevieme, ktorá variácia prvočísel, ktoré fungujú pre štyri káble, teda, keď nájdeme jednu, tak tam môže byť na stene.

Na to aby to fungovalo, nemôžeme mať v tejto štvorici tri kusy z rovnakého zvyšku a taktiež sa v nej nemôžu nachádzať všetky možné zvyšky. To znamená, že jediné, čo nám zostáva je, že v tejto štvorici budú dva kusy z jedného zvyšku a dva kusy z druhého zvyšku. Vtedy súčet ľubovoľných troch káblov určite nebude deliteľný troma a teda to bude prvčíslo. Jedna takáto konfigurácia je 3, 3, 5, 5. V tejto sú dva možnosti výsledku súčtu troch káblov a to je 3 + 3 + 5 = 11 a 3 + 5 + 5 = 13.

Teda zo steny môžu trčať najviac štyri káble.