Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok
×6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Je daný pravidelný 15-uholník s vrcholmi A_1 až A_{15}. Vypočítajte menší z uhlov, ktorý zvierajú úsečky A_1A_{10} a A_8A_{12}.
Vzorové riešenie
Pravidelnému 15-uholníku vieme opísať kružnicu so stredom S. Ak spojíme tento stred so všetkými vrcholmi A_1 až A_{15}, vznikne 15 trojuholníkov. Každý z nich má dve strany tvorené polomerom kružnice a tretiu tvorenú stranou 15-uholníka. Preto sú tieto trojuholníky rovnaké. Súčet uhlov okolo stredu S je 360 stupňov, takže jeden stredový uhol (zodpovedajúci jednému kroku medzi susednými vrcholmi) má veľkosť x = 360^\circ : 15 = 24^\circ.
Vidíme, že veľkosť uhla \lvert \sphericalangle A_1SA_{10}\rvert = 6x=144^\circ stupňov. V trojuholníku A_1SA_{10} platí:\lvert A_1S\rvert =\lvert A_ {12}S\rvert (ide o polomery kružnice), takže tento trojuholník je rovnoramenný a preto sú uhly pri základni rovnaké. Súčet uhlov v každom trojuholníku je 180^\circ, takže \alpha = (180^\circ - 144^\circ) : 2 = 18^\circ.
Podobne v trojuholníku A_{12}SA_8: stredový uhol \lvert \sphericalangle A_{12}SA_8\rvert = 4 \cdot 24^\circ = 96^\circ stupňov. Taktiež je to rovnoramenný trojuholník, keďže \lvert A_{12}S\rvert=\lvert A_8S\rvert, takže uhly pri základní sú: \beta = (180^\circ - 96^\circ) : 2 = 42^\circ stupňov.
A tak isto v trojuholník A_{10}SA_8: medzi vrcholmi sú 2 kroky, stredový uhol \lvert \sphericalangle A_{10}SA_8\rvert = 2 \cdot 24^\circ = 48^\circ stupňov. Taktiež ide o rovnoramenný trojuholník, keďže \lvert A_{10}S\rvert=\lvert A_8S\rvert, takže uhly pri základní sú:\gamma = (180^\circ - 48^\circ) : 2 = 66^\circ.
Označme priesečník úsečiek A_1A_{10} a A_8A_{12} ako X. Zamerajme sa na malý trojuholník A_{10}XA_8, ktorý vznikol pri tomto priesečníku. Pozrime sa, čo vieme o jeho uhloch. Najprv platí \lvert \sphericalangle XA_8A_{10} \rvert= \gamma - \beta = 66^\circ - 42^\circ = 24^\circ.Ďalej máme \lvert XA_{10}A_8\rvert = \gamma + \alpha = 66^\circ + 18^\circ = 84^\circ.Keďže súčet uhlov v trojuholníku A_{10}XA_8 musí byť 180 stupňov, veľkosť uhla pri priesečníku X vypočítame ako: 180^\circ - (24^\circ + 84^\circ) = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ. Toto je zároveň uhol, ktorý zvierajú úsečky A_1A_{10} a A_8A_{12}.
Druhý uhol v priesečníku (susedný) má veľkosť 180 - 72 = 108 stupňov, čo je viac ako 72 stupňov.