Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Šperky sú vo vitríne uložené v rade vedľa seba. V každom zo šperkov je vložených niekoľko drahokamov (nenulové celé kladné číslo). Timo si všimol, že nech zoberie ľubovoľných 19 šperkov ležiacich vedľa seba, celkový počet drahokamov v nich je párny. Taktiež, ak vezme ľubovoľných 20 šperkov ležiacich vedľa seba, celkový počet drahokamov v nich je nepárny. Koľko najviac šperkov môže byť vo vitríne?
Vzorové riešenie
Nakoľko vieme, že v tomto príklade budeme pracovať s paritou čísel, spíšme si ako sa mení parita pri základných operáciách.
Párne + párne = párne
Párne + nepárne = nepárne
Nepárne + nepárne = párne
Vieme, že súčet drahokamov na akýchkoľvek 19 šperkoch je párny a na každých 20 je nepárny. Predstavme si, že sa pozeráme na prvých 20 šperkov v rade. Súčet drahokamov na prvých 19 šperkoch je párny - označme si tento súčet S. Aký môže byť počet drahokamov na 20. šperku, aby súčet drahokamov na prvých 20 šperkoch bol nepárny? Nakoľko sa parita mení, počet drahokamov na 20. šperku musí byť nepárny.
Podobne to vieme spraviť s ďalšími skupinami 20 šperkov. Druhá 19tica v rade má súčet drahokamov = S + počet drahokamov na 20. šperku - počet drahokamov na 1. šperku. S je párne, 20.číslo je nepárne a prvé je tým pádom nepárne taktiež. Počet drahokamov na 21. šperku musí byť tiež nepárne, aby sme si udržali nepárny súčet každých 20 šperkov. Takto sa to bude opakovať - každý počet drahokamov na začiatočnom aj konečnom šperku každej 20tice musí byž nepárny. Otázka je ale dokedy to takto vieme opakovať?
Platí, že v každej 19tici musí byť aspoň jednen párny počet, aby sa dodržala parita. (Keďže číslo 19 je nepárne, tak tam musí byť párny počet nepárnych počtov drahokamov a nepárny počet párnych počtov drahokamov, aby sme dostali párny súčet. Tým pádom tam musí byť aspoň jedno párne, alebo iný nepárny počet párnych).
Týmto sa dostávame k tomu, že najviac ich vieme poskladať tak, že dáme čo najviac nepárnych počtov drahokamov na šperkoch, potom jednen párny počet a potom znova čo najviac nepárnych, keďže každá 20tica začína aj končí nepárnym číslom. Teraz je už len otázka koľko najviac nepárnych počtov môže byť pred a po párnom počte v strede?
Nakoľko vieme, že už na prvých 19 šperkoch musí byť nejaký párny počet, tak nechajme prvých 18 šperkov s nepárnym počtom drahokamov, 19. šperk bude mať párny počet drahokamov a potom znova môže byť najviac 18 šperkov s nepárnym počtom drahokamov, nakoľko aj v poslednej 19tici musí byť jeden párny počet drahokamov.
Vo vitríne preto môže byť najviac 18+1+18 = 37 šperkov.