Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok
×10. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Tri mestá tvoria trojuholník ABC, v ktorom platí: \lvert\sphericalangle ABC\rvert = 15^\circ a \lvert\sphericalangle BCA\rvert = 30^\circ. Donova vila, bod D, leží na priamej ceste medzi B a C tak, aby platilo, že \lvert\sphericalangle ADC\rvert = 45^\circ. Dokážte, že D musí ležať v strede strany BC.
Vzorové riešenie
Najprv si spravíme náčrt a dopočítame si uhly \sphericalangle CAB a \sphericalangle ADB. Všimnime si, že trojuholníky ABC a DBA sú podobné podľa vety uu. Znamená to, že pomery prislúchajúcich dĺžok sa rovnajú, platí teda:
\frac{\lvert AD \rvert}{\lvert CA \rvert}=\frac{\lvert DB \rvert}{\lvert AB \rvert}=\frac{\lvert BA \rvert}{\lvert BC \rvert}
Ako dobrý nápad sa ukazuje spraviť si kolmicu AE na stranu CB. Motivácia je dvojaká, vznikne nám trojuholník ADE, ktorý je rovnoramenný so 45^\circ uhlami pri základňách a trojuholník AEC ktorý má uhly 30^\circ,60^\circ a 90^\circ. V oboch z nich sa veľmi dobre dopočítavajú veľkosti strán. Ak by nám to nenapadlo, tak sa táto pasáž dala prekonať pomocou goniometrie.
Označme si dĺžku strany AE ako a, keďže trojuholník AED je rovnoramenný, tak aj dĺžka strany ED bude a. Ďalej trojuholník AEC má uhly postupne 60^\circ, 90^\circ a 30^\circ. Vďaka tomu je strana AC veľká 2a, buďto to vidíme z goniometrie, alebo z dokreslenia trojuholníku AEC na rovnostranný trojuholník. Nakoniec z Pytagorovej vety dostávame, že \lvert CE \rvert = \sqrt{(\lvert CE \rvert^2+\lvert CE \rvert^2)}=\sqrt{3}\cdot a. Podobne z Pytagorovej vety dostávame, že veľkosť strany AD je \sqrt{2}\cdot a.
Teraz to vieme dosadiť do pomerov vyrátaných z podobnosti trojuholníkov
\frac{\sqrt{2}a}{2a}=\frac{\lvert AD \rvert}{\lvert CA \rvert}=\frac{\lvert BA \rvert}{\lvert BC \rvert}.
Prenásobním dostávame\frac{1}{\sqrt{2}}\lvert BC \rvert=\lvert BA \rvert.Ako ďalšiu rovnosť dosadením za \lvert BD \rvert = \lvert CB \rvert - \lvert CD \rvert
\frac{\lvert CB \rvert -(\sqrt{3}+1)\cdot a}{\lvert AB \rvert}=\frac{\lvert DB \rvert}{\lvert AB \rvert}=\frac{\lvert BA \rvert}{\lvert BC \rvert}.Prenásobením dostávame
\lvert BC \rvert\cdot(\lvert BC \rvert -(\sqrt{3}+1)\cdot a)=\lvert BA \rvert^2.Nakoniec dosadením za \lvert BA\rvert dostávame
\lvert BC \rvert -(\sqrt{3}+1)\cdot a=1/2\cdot\lvert BC \rvert.
Takže2\cdot(\sqrt{3}+1)\cdot a=\lvert BC \rvert.Keďže \lvert CD\rvert = (\sqrt{3}+1)\cdot a, čo je polka danej vzdialenosti, tak bod D je naozaj v strede strany BC.