8. príklad - Vzorové riešenie

Chceme vedieť, čo sa bude diať, keď budeme opakovať nejaké kroky. Poďme si to teda najprv vyskúšať, aby sme zistili, čo sa bude diať, a potom sa môžeme pustiť do dokazovania.

Vyberme si nejaké počty šperkov, ktoré sú v sálach na začiatku. Môžeme si vybrať napríklad takéto:

Šípky ukazujú, do ktorej strany budeme posúvať šperky. Odteraz už nebudem kresliť celý kruh, ale stále sú usporiadané do kruhu, teda z poslednej sa šperky budú presúvať naspäť do prvej.

Poďme teda prvýkrát presunúť šperky.

6 - 8 - 4 - 6 - 2 - \Longrightarrow 3 \xrightarrow 3 4 \xrightarrow 4 2 \xrightarrow 2 3 \xrightarrow 3 1 \xrightarrow 1 \Longrightarrow 4 - 7 - 6 - 5 - 4 -

V dvoch sálach máme nepárny počet šperkov, pridáme tam teda po jednom. Počty šperkov teda budú:

4 - 8 - 6 - 6 - 4 -

Teraz urobme druhý krok - prenesenie šperkov a rovno aj doplnenie jedného tam, kde je nepárny počet:

4 - 8 - 6 - 6 - 4 - \Longrightarrow 4 - 6 - 7 - 6 - 5 - \Longrightarrow 4 - 6 - 8 - 6 - 6 -

Tretí krok:

4 - 6 - 8 - 6 - 6 - \Longrightarrow 5 - 5 - 7 - 7 - 6 -\Longrightarrow 6 - 6 - 8 - 8 - 6 -

Štvrtý krok:

6 - 6 - 8 - 8 - 6 - \Longrightarrow 6 - 6 - 7 - 8 - 7 - \Longrightarrow 6 - 6 - 8 - 8 - 8 -

Piaty krok:

6 - 6 - 8 - 8 - 8 - \Longrightarrow 7 - 6 - 7 - 8 - 8 - \Longrightarrow 8 - 6 - 8 - 8 - 8 -

Šiesty krok:

8 - 6 - 8 - 8 - 8 - \Longrightarrow 8 - 7 - 7 - 8 - 8 - \Longrightarrow 8 - 8 - 8 - 8 - 8-

Po šiestich krokoch sme sa naozaj dostali k tomu, že vo všetkých sálach je rovnako veľa šperkov.

Čo sme si mohli všimnúť?

Prvé pozorovanie môže byť, že čísla sa postupne väčšinou zvyšujú. To by sme aj očakávali, keďže vždy iba pridávame šperky, nikdy ich neodoberáme.

Druhé pozorovanie je, že sa nám medzi číslami nikdy nevyskytlo číslo väčšie, ako 8 - najväčšie z čísel, čo sme mali na začiatku. Mohli by sme si teda domyslieť, že by to tak možno mohlo platiť vždy - že nikdy nebudeme mať väčšie čísla, ako najväčšie číslo, čo sme mali na začiatku. Keby sa nám to podarilo dokázať, bolo by to užitočné, lebo by sme vedeli, že nemôžeme pridávať šperky donekonečna. Po nejakom čase by sme ich totiž priniesli toľko, že už by niekde muselo byť viac.

Poďme teda skúsiť naše druhé pozorovanie dokázať.

Ako by mohlo vzniknúť číslo väčšie, ako najväčšie, čo sme mali na začiatku? Mohlo by vzniknúť buď prinesením polovice šperkov z vedľajšej sály, alebo prinesením jedného šperku zo skladu. Ak v jednej sále bolo A šperkov a vo vedľajšej B, tak po tom ako z prvej polovicu odnesieme a z druhej odnesieme polovicu do prvej, bude v nej \frac{A+B}{2} šperkov. To ale nemôže byť väčšie, ako A aj ako B zároveň. Preto väčšie číslo nemohlo vzniknúť prenesením polovice šperkov. Nemohlo ale vzniknúť ani prinesením jedného šperku zo skladu. To sa totiž stane len vtedy, ak bol v sále nepárny počet šperkov a teda ak by sme buď nedosiahli viac ako sme mali na začiatku, alebo by sme už museli mať viac predtým.

Vieme teda, že nikdy nebudeme mať v žiadnej sále viac šperkov, ako bol najväčší počet, čo sme mali na začiatku. Pozrime sa teraz zasa na prvé pozorovanie - že sa čísla tak vo všeobecnosti zvyšujú. Môžeme si všimnúť niečo konkrétnejšie, napríklad, že najmenšie číslo, aké tam práve máme sa vždy buď zvýšilo, alebo ich aspoň bolo menej (namiesto troch šestiek sme tam mali len dve...) Toto môžeme skúsiť aj naozaj dokázať:

V žiadnej sále, kde bolo viac šperkov, ako to najmenšie číslo nebude po prenesení toľko alebo menej šperkov. Ich počet bude totiž priemer počtu v tej miestnosti a vo vedľajšej, kde je aspoň toľko šperkov, ako najmenšie číslo. To isté platí ale aj pre sály, ktoré sú od takýchto sál vpravo.

Vždy je teda aspoň o 1 menej výskytov najmenšieho čísla - ak sme teda napríklad doteraz mali najmenšie číslo 4 a mali sme dve štvorky, tak v najbližšom kroku bude najviac jedna.

Toto sa ale nemôže diať večne, raz najmenšie číslo dobehne najväčšie a v každej sále bude rovnaký počet šperkov.