Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok
×6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Kódom je najmenšie prirodzené číslo väčšie ako 2026, ktoré sa nedá zapísať ako súčet dvoch palindrómov. Nájdite ho.
Poznámka: Palindróm je také číslo, ktorého zápis v desiatkovej sústave je rovnaký spredu aj zozadu.
Vzorové riešenie
2027 sa dá zapísať ako súčet dvoch palindrómov, 1331+696=2027.
Ukážeme, že 2028 sa nedá zapísať ako súčet dvoch palindrómov. Ak by sa 2028 dalo zapísať ako súčet dvoch palindrómov, tak aspoň jeden z nich by musel byť štvorciferný, pretože maximálny súčet dvoch trojciferných palindrómov je 999+999=1998, čo je menej ako 2028.
Prvá (a teda aj posledná) cifra tohto štvorciferného palindrómu nemôže byť väčšia ako 2 (potom by bol väčší ako 2028). Ak by bola táto cifra 2, tak potom druhá a tretia cifra (sú rovnaké) by museli byť 0 (inak by tento palindróm bol väčší ako 2028), lenže 2028-2002=26, čo nie je palindróm. Preto prvá a posledná cifra tohto palindrómu musí byť 1. Potom máme 10 možností aká je cifra na druhom a treťom mieste. Všetky vyskúšame:
2028-1001=10272028-1111=917
2028-1221=807
2028-1331=697
2028-1441=5872028-1551=4772028-1661=367
2028-1771=257
2028-1881=147
2028-1991=37
2028 by sa dalo zapísať ako súčet dvoch palindrómov iba ak by rozdiel 2028 a jedného palindrómu bol tiež palindróm. Ani v jednej možnosti nevyšiel rozdiel palindróm, preto 2028 sa nedá zapísať ako súčet dvoch palindrómov, takže hľadané číslo je 2028.