Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok
×10. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Hra má tvar konvexného päťuholníka GTAVI, v ktorom platí: |\measuredangle ATG| = |\measuredangle GIV|, |\measuredangle VAT| = |\measuredangle IVA|.
Ďalej platí, že GT + VI = GI + TA. Dokážte, že tento päťuholník musí byť osovo súmerný podľa výšky z bodu G na stranu AV.
Vzorové riešenie
Chceme ukázať, že päťuholník GTAVI je osovo súmerný podľa nejakej výšky. Dobrý začiatok je teda nakresliť si päťuholník aj s tou výškou. Jej pätu (priesečník výšky s priamkou AV) si označme napríklad P:
Môžeme si všimnúť, že v štvoruholníkoch GTAP a GPVI sú tri uhly rovnaké. V každom štvoruholníku je ale súčet uhlov rovnaký - 360 \degree, takže ten posledný uhol bude 360 \degree mínus súčet zvyšných troch. To ale znamená, že |\measuredangle TGP| = |\measuredangle IGP|.
Chceme ukázať, že päťuholník je osovo súmerný, tak to skúsme overiť. Spravme to tak, že preklopíme "ľavú" stranu päťuholníka na "pravú" - teda body A a T preklopíme okolo PG. Ak tvrdenie, ktoré máme dokázať platí, tak by sa A malo zobraziť do Va T do I. Keď to preklopíme, bude to vyzerať nejako takto:
Vieme, že A' bude ležať na priamke PVa T' bude ležať na priamke GI. Druhé tvrdenie platí preto, že |\measuredangle TGP| = |\measuredangle IGP| a teda priamky GI a GT'prechádzajú spoločným bodom G a majú rovnaký smer a teda sú to tá istá priamka. Tiež bude A'T' rovnobežné s VI, keďže uhly |\measuredangle PAT| = |\measuredangle VAT| a |\measuredangle IVP| = |\measuredangle IVA| sú rovnaké. Teraz máme tri možnosti - buď |A'T'| < |VI|, |A'T'| > |VI|alebo |A'T'| = |VI|.
Ak |A'T'|<|VI|, tak T' je bližšie k priamke PV, než I. To znamená, že na priamke GI musí byť ďalej od bodu G a teda |GT'|>|GI|, čo je spor s tým, čo máme zadané, keďže |GT|+|VI|=|GT'|+|VI|>|GI|+|A'T'|=|GI|+|TA|a teda máme dve dĺžky, ktoré sa rovnajú ale zároveň je jedna väčšia ako druhá.
Ak |A'T'| > |VI|, tak bude spor presne rovnaký, akurát budú všetky nerovnosti obrátené.
Ostáva teda jediná možnosť - |A'T'| = |VI| a teda |GT'| = |GI|. Body T'a Isú teda ten istý bod a keďže A' leží na PV a A'I \parallel VI, aj A'a I sú ten istý bod.
Tým sme dokázali presne to, čo sme dokázať chceli, a síce že ľavá a pravá strana päťuholníka sa pri preklopení okolo výšky na seba zobrazia.
(: