Odporúčaný článok

Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok

×

1. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5

Zadanie

Prsteň (mriežka 3\times 3) je vyplnený číslami od 1 do 9, pričom každé je použité práve raz. Zrátajme súčet každej dvojice políčok susediacich hranou. Súčet všetkých týchto hodnôt je cena prsteňa. Aká je najväčšia možná cena prsteňa? A koľkými rôznymi vyplneniami sa dá dosiahnuť?

Vzorové riešenie

Opravovali: alic

Nakoľko do tabuľky 3 x 3 vkladáme všetky čísla od 1 do 9, musíme si dôkladne premyslieť, kde ktoré číslo vložíme. 

Finálny súčet je zložený z menších súčtov susediacich čísel. Preto sa pozrieme na to, ktoré políčka majú koľko susediacich políčok. Políčko v strede má 4 susedov, políčka okolo neho majú troch (zelené) susedov a políčka v rohu majú len 2 susedov (červené). Pre maximalizovanie súčtu dáme do stredného políčka 9, nakoľko bude zarátané v najviac dvojiciach. Do políčok s troma susedmi dáme čísla 8, 7, 6, 5. A na záver dáme do rohových políčok najmenšie čísla 4, 3, 2, 1.

V našom finálnom súčte bude teda zarátané každé číslo toľko krát, koľko má susedov, keďže finálny súčet sa skladá zo súčtu každej dvojice susediacich políčok. 

Maximálna cena prsteňa:

9*4+(8+7+6+5)*3+(4+3+2+1)*2 = 134

Teraz poďme zistiť, koľkými rôznymi vyplneniami ju vieme dosiahnuť. Vieme, že 9 určite bude v strede. Potom existuje 4! = 4*3*2*1 = 24 možností, ako vieme umiestniť čísla 8, 7, 6 a 5 do štyroch políčok susediacich so stredným políčkom. Je to preto, pretože zoberme si napríklad políčko A. Máme 4 možnosti, ako vybrať číslo na toto políčko. Akonáhle toto číslo uložíme, už ho nevieme dať inam. Preto na políčko B už máme iba 3 možnosti, ako vybrať číslo. Na políčko C už iba dve a na políčko D nám ostane posledné. Rovnako vieme ukladať aj čísla 4, 3, 2, a 1, takže aj tam máme 24 možností. 

Nakoniec to celé vynásobíme: 24*24* 1= 576, nakoľko pre všetky uloženia čísel 8, 7, 6 a 5 máme 24 rôznych uložení čísel 4, 3, 2 a 1 a jedno uloženie čísla 9, ktoré je vždy v strede. 

To znamená, že maximálna cena prsteňa je 134 a počet rôznych vyplnení je 576.