Chyba v zadaní príkladu číslo 3 - Milí Rieškari, žiaľ sa nám do príkladu číslo 3 vkradla chyba. Opravené zadanie môžete nájsť v sekcii zadania. Dúfame, že ste sa s pôvodným zadaním príliš netrápili a prajeme veľa … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Tetovanie má tvar trojuholníka ABC. |\measuredangle BAC| = 15° a |\measuredangle ACB| = 45°. Na polpriamke CB za bodom B leží bod D taký, že |BD|=2|BC|. Aká je veľkosť |\measuredangle ADC|?
Vzorové riešenie
Ako prvé si spravme obrázok a doznačme si stred BD ako E a nech |BC|=a. Ďalej vieme dorátať uhol \angle ABC, keďže súčet uhlov v trojuhoľníku je 180^\circ, teda |\angle ABC|=180^\circ - 15^\circ - 45^\circ=120^\circ
Teraz spravme kružnicu so stredom v E. Všimnime si, že táto kružnica pretína AB aj v inom bode ako B, označme ho F. Z Tálesovej vety nám teda vyplýva, že |\angle BFD|=90^\circ. Zároveň, keďže B,F ležia na kružnici so stredom v E, tak |BE|=|FE|=a. Z toho nám vyplýva, že \triangle EBF je rovnoramenný, a teda |\angle EBF|=|\angle BFE|=60^\circ a dopočítaním do 180^\circ dostaneme, že aj jeho tretí uhol je 60^\circ, čím je rovnostranný, a teda |BE|=|FE|=|BF|=a
Teraz si ale všimnime, že vieme spraviť aj druhú kružnicu, a to cez C,E,F so stredom v B. Tentoraz z Tálesovej vety dostávame, že |\angle CFE|=90^\circ. Teraz si všimnime, že, že \triangle CEF, \triangle DBF majú zhodné uhly (90^\circ, 60^\circ) a aj rovnaké dĺžky strany oproti pravému uhlu, teda sú zhodné.
Ďalej môžeme dorátať pár uhlov: |\angle BCF|=180^\circ-|\angle CFE|-|\angle FEC|=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ \\ |\angle FCA|=|\angle BCA|-|\angle BCF|=45^\circ-30^\circ=15^\circKeďže |\angle BCF|=|\angle CAB|, tak je \triangle CAF rovnoramenný, a teda |CF|=|AF|. Ale \triangle CEF, \triangle DBF sú zhodné, a teda aj |FD|=|CF|=|AF|. Z tohto dostávame, že aj, že \triangle ADF je rovnoramenný, s pravým uhlom pri vrchole F.
Keďže je rovnoramenný, tak zvyšné uhly sú rovnaké, a teda dopočítaním do 180^\circ dostaneme, že je |\angle FAD|=|\angle ADF|=45^\circ. My chceme dorátať uhol |\angle ADC| a ten teraz už ľahko dorátame:
|\angle ADC|=|\angle ADF|+|\angle FDC|=45^\circ+30^\circ=75^\circ