Chyba v zadaní príkladu číslo 3 - Milí Rieškari, žiaľ sa nám do príkladu číslo 3 vkradla chyba. Opravené zadanie môžete nájsť v sekcii zadania. Dúfame, že ste sa s pôvodným zadaním príliš netrápili a prajeme veľa … Prejsť na článok
×7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Väzenie má tvar päťuholníka ABCDE, ktorý má všetky strany rovnako dlhé (ale nemusí mať rovnaké všetky uhly). Taktiež platí, že |\measuredangle BCD| = 2 \cdot |\measuredangle ACE|. Aby sa z väzenia dalo dostať, treba vedieť veľkosť uhla ACE. Zistite ju.
Vzorové riešenie
Uhly pomenujeme ako na obrázku. Zo zadania sú všetky strany päťuholníka ABCDE rovnako dlhé, takže trojuholníky ABC a CDE sú rovnoramenné. Z toho vyplýva, že uhol BAC je tiež \beta a uhol CED je tiež \gamma.
Keďže \left|\angle BCD\right|=2\left|\angle ACE\right|, tak \alpha+\beta+\gamma=2\alpha, teda \beta+\gamma=\alpha. Zároveň \varepsilon+\delta+\alpha=180\degree, pretože súčet veľkostí vnútorných uhlov v trojuholníku je 180\degree. Dosadíme do tejto rovnice \beta+\gamma namiesto \alpha a dostávame: 180°=\varepsilon+\delta+\beta+\gamma=\left| \angle BAE \right|+\left| \angle AED \right|. Uhly BAE a AED teda majú súčet veľkostí 180° a sú na rovnakej strane priamky AE otočené oproti sebe (takéto uhly nazývame priľahlé), čo znamená, že AB a DE sú rovnobežné a keďže \left| AB \right|=\left| ED \right|, ABDE je rovnobežník. Keďže AE má tiež rovnakú dĺžku (ako AB a ED), ABDE je kosoštvorec. To znamená, že úsečka BD má rovnakú dĺžku ako AE a všetky ostatné strany päťuholníka, aj ako BC a CD a tým pádom BCD je rovnostranný trojuholník. Všetky uhly rovnostranného trojuholníka majú 60°, teda \left| \angle BCD \right|=60\degree a uhol ACE je jeho polovica, takže \left| \angle ACE \right|=30\degree.