Chyba v zadaní príkladu číslo 3 - Milí Rieškari, žiaľ sa nám do príkladu číslo 3 vkradla chyba. Opravené zadanie môžete nájsť v sekcii zadania. Dúfame, že ste sa s pôvodným zadaním príliš netrápili a prajeme veľa … Prejsť na článok
×5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Pravý náhrdelník má tvar štvorca 5 \times 5 rozdeleného na niekoľko nepravidelných oblastí. V každom políčku je vsadených nejaký počet drahokamov (nezáporné celé číslo), pričom políčka, ktoré sú v rovnakej oblasti, majú v sebe rovnaký počet drahokamov. Čísla na boku udávajú celkový počet drahokamov v danom riadku alebo stĺpci. Aké počty drahokamov mohli byť v jednotlivých políčkach? Nájdite všetky možnosti.
Vzorové riešenie
Začneme tým, že si každé políčko označíme nejakým písmenkom. Keďže jedna oblasť má všetky políčka rovnaké, políčka z rovnakej oblasti si označíme rovnakým písmenkom.
Pozrieme sa na úplne spodný riadok tabuľky. Vieme, že keď vynásobím číslo dvomi, bude vždy párne. V spodnom riadku mám políčka 2f+g+2i=15. 2f aj 2i je určite párne, ale celkový súčet je nepárny (15) -> teda g musí byť nepárne.
Z predposledného riadku zdola vieme vyčítať, že b+2g+h+e=5. Čo nám to hovorí o g? Že musí byť ≤2, lebo ak by boli aj všetky ostatné čísla (b,h,e) nulové a g by bolo väčšie ako 2 (napr. 3), táto rovnica by nemohla platiť, lebo 2g>5.
O g teda už vieme, že je nepárne, a že je ≤2. Taktiež zo zadania vieme, že je nezáporné prirodzené číslo. Preto môžeme s istotou povedať, že g=1.
Keď sa pozrieme na 2 ľavé stĺpce, vidíme, že ten najviac vľavo má súčet políčok 8, a ten druhý zľava má súčet políčok 11. Takže rozdiel týchto dvoch stĺpcov je 11-8=3. Môžeme si ale všímnúť, že a, b, aj fsú v oboch stĺpcoch, preto oni rozdiel nijako nezmenia. Rozdiel bude teda medzi 2b a c+1. Túto úvahu si môžeme zapísať aj rovnicou:
a+3b+f+3=a+b+c+1+f \quad |-a-b-f-1
2b+2=c
Rovnakou úvahou, ako sme zistili, že f≤2, vieme aj, že c≤3 (3. riadok by mal inak priveľký súčet), a b≤2 (ľavý stĺpec).
Teraz si do rovnice c=2b+2 doplníme možné b:
\begin{array}{c|c} b & c \\ \hline 0 & 1 \\ 1 & 4 \\ 2 & 6 \end{array}
Vidíme, že jediná možná kombinácia b, c, je, že b=0, c=2.
Teraz si vezmime 3. riadok. Je z neho jasné, že buď d=1, e=0, alebo d=0, e=1. Rozoberme si teda obe tieto možnosti.
a) d=0, e=1
Vieme si dopočítať h, a to ako h=5-1-1-e=2 (v obrázku už je doplnené). Z 1. stĺpca, 4. stĺpca a 5. riadku si zostavíme sústavu rovníc, ktorú jednoducho vyriešime.
a+f=8 \quad | -f \\ a+2+i=6 \quad | -2 \\ 2f+1+2i=15 \quad | -1a=8-f \\ a+i=4 \quad | \,a=8-f\\ 2f+2i=14 \quad | :2a=8-f \\ 8-f+i=4 \quad | +f-8\\ f+i=7
a=8-f \\ i=f-4\\ f+i=7 \quad | \,i=f-4
a=8-f \\ i=f-4 \\ f+f-4=7 \quad | +4
a=8-f \\ i=f-4 \\ 2f=11 \quad | :2
a=8-f \\ i=f-4 \\ f=5,5 \quad | :2
Lenže f nemôže byť desatinné, preto táto možnosť (d=0, e=1), nefunguje.
b) d=1, e=0
Rovnako ako vyššie vieme dopočítať h, a to ako h=5-1-1-e=3 (v obrázku už je doplnené). Z 1. stĺpca, 4. stĺpca a 5. riadku si zostavíme sústavu rovníc, ktorú jednoducho vyriešime.
a+f=8 \quad | -f \\ a+1+1+3+i=6 \quad | -5 \\ 2f+1+2i=15 \quad | -1
a=8-f \\ a+i=1 \quad | \, a=8-f \\ 2f+2i=14 \quad | :2a=8-f \\ 8-f+i=1 \quad | -8+f \\ f+i=7a=8-f \\ i=f-7 \\ f+i=7 \quad | \, i=f-7
a=8-f \\ i=f-7 \\ f+f-7=7 \quad | +7a=8-f \\ i=f-7 \\ 2f=14 \quad | :2
a=8-f \quad | \, f=7 \\ i=f-7 \quad | \, f=7 \\ f=7
a=8-7 \\ i=7-7 \\ f=7a=1 \\ i=0 \\ f=7
K tomuto výsledku sme sa dostali cestou, že sme vylúčili všetky ostatné možnosti. Preto je to jediná správna možnosť, ako mohli byť drahokamy uložené v políčkach.