Chyba v zadaní príkladu číslo 3 - Milí Rieškari, žiaľ sa nám do príkladu číslo 3 vkradla chyba. Opravené zadanie môžete nájsť v sekcii zadania. Dúfame, že ste sa s pôvodným zadaním príliš netrápili a prajeme veľa … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Skladačka (puzzle) má tvar obdĺžnika, v ktorom sa nenachádzajú žiadne diery. Skladá sa z 851 do seba zapojených a navzájom sa neprekrývajúcich dielikov, ktoré môžu byť piatich rôznych tvarov nakreslených nižšie (nie každý sa tam ale musí nachádzať). Tvary sú usporiadané do mriežky - každý riadok a stĺpec má rovnako veľa dielikov tak, že rovné hrany dielikov sa nachádzajú po celom obvode puzzle, a nikde inde. Zistite, koľko dielikov môže byť typu E. Nájdite všetky možnosti a ukážte, že iné neexistujú.
Poznámka: Dieliky pri skladaní môžeme otáčať, nie však preklápať.
Vzorové riešenie
Najprv si môžeme všimnúť, že výsledné puzzle bude obdĺžnik, do ktorého budeme umiestnovať tých
851 dielikov. Obsah obdĺžnika vyrátame ako a\cdot b=S , kde v tomto prípade a aj b sú celé čísla. Prvočíselný rozklad čísla 851 je 23\cdot 37. Zjavne má obdĺžnik aspoň 2 stĺpce aj riadky, takže vypĺňame tabulku, ktorá má dĺžky strán 23 a 37.
Existuje jediný spôsob ako vyplniť ponúkanými dielikmi okraj obrázka. Najprv v rohoch sa nutne nachádza dielik A. Má ako jediný 2 hladké steny.
Ostatok okraja budeme vypĺňať dielikmi B a C. Obrázok môžeme ľubovoľne otáčať, tak si povedzme, že spodná strana bude tá dlhšia. Všimnime si, že ak na ľubovoľné miesto na spodnej strane iné ako to pri pravom dolnom rohu dáme dielik C tak už zaň nemáme čo dať a teda puzzle nepostavíme.
Všetky až na posledný dielik na spodnej strane teda musí byť dielik typu B a posledný dielik je C. Úplne rovnako dostávame vyplnenie okraja pre ostatné hrany.
Teraz sa sústreďme na stred. Najprv každý výstupok musí pasovať do preliačiny na inom dieliku puzzle, takže počet výstupkov a preliačin musí byť celkovo rovnaký. Dielik E má rovnaký počet výstupkov a preliačin takže rovnosť nemení. Naopak pridaním výstupku D sa počet preliačin zvýši o 2. Z okraja puzzle trčí 2\cdot(37-3)+2\cdot(23-3)=108
výstupkov a 4 preliačiny. Aby celkový počet preliačin dorovnal počet výstupkov potrebujeme aby
4+2\cdot D=108.Aby počet výstupkov sedel, tak počet dielikov typu D musí byť 52. Teraz ľahko dorátame nutný počet dielikov typu E.
E=851-A-B-C-D=851-4-4-108-52=683
Toto je takmer koniec. Ostáva overiť, že sa tabulka naozaj dá vypočítanými počtami dielikov vyplniť. Keď to vyskúšame, zistíme, že sa to dá, napríklad tak, ako na tomto obrázku:
Keď vypočítame, koľko tam je tmavomodrých dielikov, zistíme, že je to 20 \cdot 34 = 680 vo veľkom obdĺžniku modrých dielikov a ešte tri navyše v rohoch, dokopy presne 683.