3. príklad - Vzorové riešenie

Najrýchlejší spôsob ako sa vedia kamióny dostať na posledné tri políčka je 9 ťahmi, a to tak, že zakaždým pôjde ten posledný kamión a preskočí oba zvyšné kamióny, čím sa posunie najviac dopredu. Takto sa celá trojica kamiónov posunie o jedno políčko dopredu, len sa zmení ich poradie, na čom nám v zadaní nezáleží, lebo je jedno ako budú na konci zoradené. 
Ak sa majú v prvej otázke dostať kamióny do cieľa na 10 ťahov, budú sa musieť niekedy ”zdržať” inými ťahmi, ako skákaním o 3. Pozrieme sa na to, čím môžu takýto skok nahradiť, teda aké majú možnosti, ak sa chcú ako trojica posunúť o 1 políčko dopredu dvoma ťahmi a nie iba jedným. Tým by sme dostali 8+2=10 ťahov namiesto 9. 

Namiesto ťahu posledným kamiónom môžu spraviť napríklad ťah stredným kamiónom. Potom musí urobiť ťah posledný kamión, aby ich dobehol, inak by sa príliš vzdialili, a celá cesta by trvala viac ako 10 ťahov. Takto teda ako trojica sa presunuli o 1 políčko dopredu za 2 ťahy (ako na obrázku).

Iná možnosť je už len tá, že ťah urobí najprv prvý kamión. Na vytvorenie trojice sa teraz musí posunúť posledný kamión. Ak by sa posunul prvý, znova by odišiel príliš ďaleko od ostatných, a keby sa presunul stredný a až potom posledný, mali by sme 3 ťahy namiesto trojskoku - celkový počet ťahov by sa nám zvýšil aspoň o 2 na 11. 

Máme dohromady 9 dlhých ťahov, ktoré môžeme potenciálne nahradiť jednou z dvoch možností. Spolu je teda 2\cdot9=18 možností, ako sa môžu dostať na koniec na 10 ťahov.

Pri 11 ťahoch bude problém o trochu zložitejší, ale znova začneme z najrýchlejšej cesty, ktorú potrebujeme zdržať o 2 ťahy. Môžeme niektoré dva z 9 veľkých ťahov nahradiť niektorou dvojicou z predošlej podúlohy, alebo prípadne jeden ťah trojicou ťahov o 1 (ako na obrázku nižšie). Oboma týmito spôsobmi vytvoríme 11 ťahov. 

V tomto prípade už ale neplatí, že sa nemôžeme nejakým kamiónom viac vzdialiť od ostatných. Čo by to mohlo znamenať je, že ešte existujú také možnosti, kde napríklad prvý kamión prejde viac políčok, kým sa oba zvyšné zaradia za neho. Potom to nebude výmena trojitého ťahu za niekoľko iných ťahov, ale bude to výmena viacerých trojitých ťahov, ktorá sa nedá rozkúskovať. Napríklad:

Poďme si ale systematicky prejsť, ako sa kamióny môžu hýbať, aby vytvorili najviac 2 ťahy navyše. Začneme vždy od ťahov prvého kamióna a budeme postupne skúšať ďalšie, kým nedostaneme niečo čo už sme mali, alebo kým nebude jasné, ako sa musia hýbať aby nepotrebovali príliš veľa ťahov.

Animácia ukazuje prípad, kedy prvý kamión ide 2-krát po sebe dopredu. Potom ho musia zvyšné dva čo najrýchlejšie dobehnúť, aby presne stihli prísť na koniec za 11 ťahov, pretože už takto sa pridajú 2 ťahy (4 namiesto dvoch pôvodných veľkých). 

Ak pôjde prvý kamión o 1 dopredu a potom za ním druhý, musí hneď ísť hneď tretí (aby nevzniklo príliš veľa ťahov), ale takú možnosť sme už spomínali v prevej podúlohe. Podobne ak pôjde prvý a potom posledný, posunuli sme sa iba trojicou o 1 dopredu, čo sme už mali.  

Ak začne druhý kamión a potom pôjde znova (už z pozície prvého), musí ísť 2-krát posledný, aby sa stihli zaradiť za seba a vytvoriť iba 2 ťahy navyše (4 namiesto 2). 

Taktiež môže ísť druhý kamión a po ňom ten, čo bol pôvodne prvý, a zase ich posledný musí rýchlo dobehnúť dvomi ťahmi.
Ak by šiel druhý a po ňom posledný, ide o situáciu z prvej podúlohy kde vzniká iba 1 ťah navyše. Ak by šiel hneď posledný, je to klasický rýchly posun o 3 - nič zaujímavé tu nevznikne. Spolu sme tu teda našli 3 zaujímavé možnosti, všetky také, že namiesto 2 veľkých ťahov majú 4.

Tak teda máme všetky možné prípady, treba ich len spočítať. Možné spôsoby ako dostať 11 ťahov sú:
1 trojitý ťah vymeníme za 3 ťahy: 1\cdot9 možností (Máme 9 dlhých ťahov, a ten ktorý meníme môžeme zmeniť iba 1 spôsobom)
1 trojitý ťah vymeníme za 2 ťahy, a ďalší trojitý tiež za 2 ťahy: \frac{9\cdot8}{2}\cdot2\cdot2=144 možností (9 možností na prvý dlhý ťah ktorý budeme meniť, 8 na druhý, ale takto zarátavame každú dvojicu dvakrát, takže delíme dvoma. Potom prvý aj druhý vybratý ťah vieme zmeniť dvomi spôsobmi za 2 menšie - 2+1 alebo 1+2)
2 trojité ťahy po sebe vymeníme za 4 menšie: 8\cdot3=24 (dvojíc susedných ťahov je 8, a každú vieme nahradiť 3 spôsobmi opísanými vyššie)

Spolu teda máme 9+144+24=177 možností

Odpoveď: Na 10 ťahov je 18 možností a na 11 ťahov je 177 možností.