Odporúčaný článok

Chyba v zadaní príkladu číslo 3 - Milí Rieškari, žiaľ sa nám do príkladu číslo 3 vkradla chyba. Opravené zadanie môžete nájsť v sekcii zadania. Dúfame, že ste sa s pôvodným zadaním príliš netrápili a prajeme veľa … Prejsť na článok

×

10. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Na otvorenie väzenskej brány je potrebný kód. Kód sa skladá z dvojice prvočísel p a q, pre ktoré platí, že p^2+q^3 je druhá mocnina celého čísla. Nájdite všetky takéto dvojice.

Vzorové riešenie

Opravovali: JakubLaffers, Majko

Máme zadané, že p^2 + q^3 je druhá mocnina nejakého celého čísla. Tak si to číslo pomenujme n. Máme teda rovnicu

p^2 + q^3 = n^2

Rovnice, v ktorých vystupujú prvočísla ako tu sa oplatí skúsiť upraviť na súčin, lebo keď máme niečo z prvočísla napísané ako súčin, je už len málo možností, čo ten súčin môže byť (prvočísla totiž majú len málo deliteľov). Po chvíli skúšania rôznych úprav zistíme, že sa naša rovnica dá upraviť na rozdiel štvorcov:

q^3 = n^2 - p^2\\ q^3 = (n-p)(n+p)

S týmto tvarom sa robí dobre, lebo q^3 sa dá rozložiť na súčin dvoch čísel len málo spôsobmi - konkrétne len ako 1 \cdot q^3 a q \cdot q^2 (a opačne, q^3 \cdot 1 a q^2 \cdot q).

Keďže n aj p sú kladné, n+p > n-p, teda prvý činiteľ súčinu musí byť menší, než druhý. Potom nám ale ostávajú už len dve možnosti.

Prvá možnosť: n-p = 1;\ \ \ n+p=q^3

n = p + 1\\ n+p = (p+1)+p=2p+1\\ q^3 = 2p+1

Znova by sa nám páčilo nájsť tu nejaké rozloženie na súčin. Znova nájdeme úpravu, ktorá nám s tým pomôže:

2p = q^3-1 = (q-1)(q^2+q+1)

Súčin 2p má tiež málo spôsobov, ktorými sa dá rozložiť: 1 \cdot 2p a 2 \cdot p. Keďže q-1 < q^2+q+1, máme znova dve možnosti.
Ak q-1=1, tak q=2 a 2p=q^2+q+1=7. To nevychádza celé číslo, tak sa posuňme na druhú možnosť.
Ak q-1=2, tak q=3 a p=q^2+q+1=13. Dostali sme teda prvé riešenie - p=13,q=3.

Druhá možnosť: n-p=q;\ \ \ n+p=q^2

n=p+q\\ n+p=(p+q)+p=2p+q\\ q^2=2p+q

Tak ako predtým skúsme zasa nájsť nejaký súčin:

2p=q^2 - q = (q-1)q

Znova využijeme, že 2p má len málo možností rozloženia na súčin. 
Možnosť q-1=1,q=2p vylúčime hneď, už len preto, že by q nebolo prvočíslo.
Ostane  nám možnosť q-1=2,q=p. Našli sme teda druhé riešenie - p=3,q=3.

Dokopy teda máme dve riešenia - p=13,q=3 a p=3,q=3. Skúsme ich dosadiť do výrazu, ktorý sme mali na začiatku:
13^2+3^3=169+27=196=14^2\\ 3^2+3^3=9+27=36=6^2
Obe naše riešenia sú teda naozaj riešenia a môžeme sa tešiť a ísť riešiť ďalšie kolo (: