Zadania 2. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Prvé zimné kolo máme úspešne za sebou. Čaká nás teda druhé kolo a s ním aj pokračovanie príbehu! Úlohy môžete nájsť tu a máte na ne čas do … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Orlok sa rád hrá so šesťcifernými číslami. Vždy zoberie posledných niekoľko cifier a presunie ich (v pôvodnom poradí) na začiatok. Takže napríklad z 123456 môže spraviť 561234, ale nie 465123. Dokážte, že ak takto upraví ľubovoľný násobok 37, tak môže dostať len násobok 37.
Vzorové riešenie
Všimnime si, že 6-ciferné číslo môžeme zapísať ako 100000a+10000b+1000c+100d+10e+f.
Teraz sa pozrime na zvyšky tohto čísla po delení 37:
\left(37\cdot2702 + 26\right)a+\left(37\cdot270 + 1\right)b+\left(37\cdot27 + 1\right)c+\left(37\cdot2 + 26\right)d+\left(37\cdot 2 + 10\right)e+\left(37\cdot0 + 1\right)f = 37\cdot k
Keď dáme preč všetky násobky 37, musí byť ľavá strana stále deliteľná číslom 37, preto dostávame:
26a+10b+c+26d+10e+f = 37\cdot x
A teraz keď prenásobíme túto rovnicu 26, dostaneme nasledujúci súčet:
676a+260b+26c+676d+260e+26f = 37\cdot k \cdot26
Znovu keď sa pozrieme na zvyšky týchto čísel po delení 37 dostaneme:
26f+10a+b+26c+10d+e = 37\cdot n
Teraz k obom stranám rovnice pripočítame ten istý, šikovne zvolený násobok 37:
\left(37\cdot2702\cdot f+37\cdot270\cdot a+37\cdot27\cdot b+37\cdot2\cdot c+37\cdot 2 \cdot d+37\cdot0\cdot e\right)+
+26f+10a+b+26c+10d+e = 37\cdot n+
+\left(37\cdot2702\cdot f+37\cdot270\cdot a+37\cdot27\cdot b+37\cdot2\cdot c+37\cdot 2 \cdot d+37\cdot0\cdot e\right)
Po priamočiarej úprave dostávame:
100000f+10000a+1000b+100c+10d+e=
=37\cdot \left(n+2702\cdot f+270\cdot a+27\cdot b+2\cdot c+2 \cdot d+0\cdot e\right)
Všimnime si, že toto je vlastne naša pôvodná rovnica, len všetky koeficienty sú posunuté o jednu pozíciu doprava. Takto to môžeme zopakovať 6-krát a dostaneme sa cez všetky posunutia.