8. príklad - Vzorové riešenie

Urobme si najprv niekoľko pozorovaní o našich dvoch číslach.

Pozorovanie 1: Obe čísla museli byť zaokrúhlené nahor. Keď zaokrúhľujeme čísla, tak sa nám každé číslo môže zmeniť najviac plus 5 alebo mínus 4. Všimnime si, že aj keby sa jedno číslo zaokrúhlilo o maximálnu možnú hodnotu, teda 5, stále to je menej ako 6, teda o koľko sa v súčte zvýšili naše čísla. Obe čísla sa teda museli zväčšiť.

Pozorovanie 2: Čísla zaokrúhlené na desiatky budú násobkom desiatky, teda keď ich vynásobíme, dostaneme násobok stovky. Teda vieme, že súčin po zaokrúhlení bude končiť na 00​. Pôvodný súčin bude o 295​ nižší, a tak vieme zistiť, že pôvodný súčin bude končiť na 00 - 95 = 05. Vidíme, že sa tento pôvodný súčin končí päťkou, a z toho vieme, že je deliteľný piatimi. Vieme si tak rozmyslieť, že aj jedno z pôvodných čísel muselo byť deliteľné päťkou.

Jedno z pôvodných čísel musí byť deliteľné päťkou, a teda končiť na 0 alebo na 5. Z pozorovania 1 však vieme, že obe čísla sa museli zväčšiť, a keby číslo končilo nulou, už by bolo zaokrúhlené na desiatky, takže by sa nezvýšilo, takže končiť nulou nemôže. Musí končiť päťkou.

Keďže jedno z čísel končí päťkou, zaokrúhli sa pri zaokrúhľovaní tak, že sa zväčší o 5. Obe čísla sa v súčte zaokrúhlili o 6 a z toho vyplýva, že druhé číslo sa zaokrúhlilo o 6 - 5=1. Tak teda vieme, že druhé z čísel sa pri zaokrúhľovaní zvýši o 1, čo znamená, že musí byť 9.

Pozorovanie 3: Môžeme si všimnúť, že ak niečo prirátavame k obom číslam v podiele a tento podiel sa nemá zmeniť, tak tieto sčítance musia byť tiež v tom istom pomere. Vieme si to ukázať: Povezme, že naše pôvodné čísla sú a a b. Potom musí platiť buď {\frac a b = \frac {a+1} {b+5}} alebo {\frac a b = \frac {a+5} {b+1}}​. Upravme si najprv prvý výraz.

​{\frac a b = \frac {a+1} {b+5}} / \cdot (b+5) \cdot {b}​​

​ba + 5a = ab + b /-ab​​

5a = b​​​

Podobnou úpravou z druhého výrazu vyjde, že 5b = a. Teda vieme, že jedno z čísel musí byť 5-násobkom druhého.

Avšak, číslo končiace na 9 nemôže byť päťnásobkom žiadneho prirodzeného čísla, lebo nie je deliteľné 5. Takže vieme, že číslo končiace sa na cifru 9 bude päťkrát menšie ako číslo končiace sa na 5.

Vidíme, že pri týchto podmienkach je rozdiel 295 je dostatočne malý na to, aby sme vedeli skúšať možnosti:

​10 \cdot 50 -9 \cdot 45 = 95       - nesedí

​20 \cdot 100 - 19 \cdot 95 = 195    - nesedí

​30 \cdot 150 - 29 \cdot 145 = 295     - sedí​

Alternatívne by sme úlohu mohli doriešiť takto:

​10x \cdot 50x = 295 + (10x - 1) \cdot (50x - 5) ​​

​500x^2 = 295 + 500x^2 - 100x + 5/-500x^2 - 100x​​

​100x = 300/:100​​

​x = 3

Odpoveď: Dve hľadané čísla sú 29 a 145.