5. príklad - Vzorové riešenie

Odpoveď: Áno, určite sa našli aspoň dve princezné také, že tancovali s rovnakým množstvom princov.

Zamyslime sa nad tým, ako by to mohlo vyzerať, aby žiadne dve princezné netancovali s rovnakým množstvom princov:

Každá princezná mohla tancovať najmenej s 0​ princami, a najviac so 102​. To je 103 rôznych počtov, teda aby každá princezná tancovala s iným počtom, musela by práve jedna princezná tancovať s 0​, práve jedna s 1​ atď... až posledná, stotretia princezná by tancovala so všetkými 102 princami.

Koľko by sa v tomto prípade odohralo tancov? Musíme vypočítať, koľko je 0+1+2+3+4+...+102​. Použijeme klasický trik: preusporiadame čísla tak, aby boli spolu dvojice s rovnakým súčtom (prvé číslo s posledným, druhé s predposledným atď):

(0+102)+(1+101)+(2+100)+...+(49+53)+(50+52)+51​

Dostaneme 51 zátvoriek, ktoré majú každá súčet 102, a na koniec nám ostane číslo 51, ktoré dvojicu nemá. Teda tento súčet vieme teraz ľahko vypočítať ako 51\cdot102+51=5253. Toľko tancov medzi princami a princeznami sa muselo celkovo odohrať.

Nezabúdajme ale, že každý princ musí tancovať s rovnakým počtom princezien! Označme si ho napríklad x. Potom to znamená, že zo strany princov sa s princeznami odohralo 102\cdot x tancov. Keď to spojíme s predošlým výsledkom, vieme, že sa musia rovnať:

5253=102\cdot x​

Upravme trochu rovnicu, aby sme zistili, koľko je x:

​x=\frac{5253}{102}=51,5​​

Teda nám vyšlo, že ak by každá princezná tancovala s iným počtom princov, musel by každý princ tancovať s 51,5 princeznami. To je, samozrejme, nezmysel - každý princ tancoval s celým počtom princezien. To môže znamenať iba jediné - naozaj nie je možné, aby tance vychádzali tak, že každá princezná tancovala s iným počtom princov. Teda nejaké dve princezné museli tancovať s rovnakým počtom princov.