Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok
×2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Piati vedúci sa postavili do radu a každý z nich dostal jednu kartu. Každá karta obsahuje jedno ľubovoľné prirodzené číslo a jednu informáciu o ostatných kartách. Informácie na kartách sú nasledovné:
- Súčet čísel na všetkých ostatných kartách okrem tejto je maximálne 11.
- Súčin čísel na kartách, ktoré majú vedúci vedľa mňa, je 15.
- Mám suseda, s ktorým mám rovnaký súčin a súčet čísel na našich kartách.
- Číslo na karte človeka vľavo od tejto karty je deliteľné 5.
- Existuje karta, ktorá má číslo 4.
Zoraďte karty a každej karte priraďte prirodzené číslo, ktoré sa na nej nachádza. Nezabudnite nájsť všetky riešenia a ukázať, že žiadne ďalšie riešenia nie sú.
Vzorové riešenie
Našou úlohou je zistiť, aké čísla sú na jednotlivých kartách a v akom poradí stoja. A samozrejme nesmieme zabudnúť overiť, že neexistuje žiadne iné riešenie.
Začnime vetou: „Mám suseda, s ktorým mám rovnaký súčet a rovnaký súčin čísel na našich kartách.“ Označme číslo na tejto karte ako A a číslo suseda ako B. Podľa vety platí:
A+B=A\cdot B
Toto platí iba pre A=B=2, keďže vieme, že pre 1 to neplatí, a pre čísla väčšie ako 2 už súčin je výrazne väčší ako súčet.
Tým pádom vieme, že dvaja, ktorý stoja vedľa seba majú na karte číslo 2.
Ďalšia veta na karte znie: „Súčin čísel na kartách, ktoré majú vedúci vedľa mňa, je 15.“
Jediné dvojice deliteľov čísla 15 sú:
1 \cdot 15
3 \cdot 5
To znamená, že v jednej možnosti budú mať dvaja vedúci čísla 1 a 15 a v druhej 3 a 5. Okrem toho posledná veta znie: „Existuje karta, ktorá má číslo 4“ To znamená, že piate číslo bude 4.
Celkovo máme tieto možnosti:
1, 15, 4, 2, 2
3,5,4,2,2
Teraz potrebujeme priradiť vety ku číslam na kartičkách. Pozrime sa najprv na prvý prípad:
- 1,15,4,2,2
Nájdeme, kto mohol mať vetu: „Súčet čísel na všetkých ostatných kartách je najviac 11.“
15 je viac ako 11, čo znamená, že ak by túto vetu mal niekto iný ako vedúci s číslom 15, súčet na ostatných kartách by bol určite viac ako 11. Z toho vyplýva, že túto vetu musí mať vedúci s číslom 15.
Teraz sa pozrime na poradie. Karta, ktorá tvrdí, že má susedov so súčinom 15, musí byť medzi kartami s číslami 1 a 15. Ďalej vieme, že karty s číslom 2 sú vedľa seba, čiže sú spolu buď na konci alebo začiatku radu. Z tohto vyplýva, že medzi 1 a 15 bude 4. Z toho vyplývajú tieto možnosti:
- 2, 2, 1, 4, 15
- 2, 2, 15, 4, 1
- 15, 4, 1, 2, 2
- 1, 4, 15, 2, 2
Teraz sa pozrieme na kartu, ktorá hovorí: „Číslo na karte človeka vľavo od tejto karty je deliteľné 5.“ V našom prípade to bude 15, keďže je jediná deliteľná 5. V prvej možnosti číslo na ľavo od 15 neexistuje, takže to určite nieje správna možnosť. Vieme, že 4 má vetu o súčine čísel na susedných kartách, ktorý je 15 a tým pádom taktiež neexistuje voľná pozícia naľavo od 15.
Ostala nám jediná možnosť: 1, 4, 15, 2, 2. Teraz k nej priradíme všetky vety a zistíme, či to naozaj platí.
15 musí mať vetu o súčte ostatných čísel, ktorý je menej ako 11.
4 musí mať vetu o súčine susedov, ktorý je 15.
2 (predposledná) musí mať vetu o karte človeka naľavo, ktoré musí mať číslo deliteľné 5.
2 (posledná) musí mať vetu o rovnakom súčte a súčine so susedom.
1 ostáva veta o tom, že existuje karta s číslom 4.
Poďme sa pozrieť na druhú možnosť s číslami:
- 3, 4, 5, 2, 2
Platí, že vetu o súčte ostatných čísel musí mať číslo 5. Platí to preto, pretože 3+4+2+2=11, čiže keby je to na inom čísle, súčet s 5kou bude väčší. Nakoľko toto platí, táto môžnosť bude úplne rovnaká ako tá predošlá.
Znova si teda overme, či naozaj vieme priradiť vety ku číslam.
5 musí mať vetu o súčte ostatných čísel, ktorý je menej ako 11.
4 musí mať vetu o súčine susedov, ktorý je 15.
2 (predposledná) musí mať vetu o karte človeka naľavo, ktoré musí mať číslo deliteľné 5.
2 (posledná) musí mať vetu o rovnakom súčte a súčine so susedom.
1 ostáva veta o tom, že existuje karta s číslom 4.
Postupným vylučovaním možností sme teda prišli na dve riešenia.