Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok
×3. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Ivka vytiahla z batohu 15 buchtičiek a položila ich do kruhu na tanier v tomto poradí: 7 kapustových, 7 mäsových, 1 čerešňová. Kým sa nedívala, vedúci jej tanier pootočili. Ivka má chuť na čerešňovú buchtu, zvonka sú však všetky buchty rovnaké. Dokážte, že nech je tanier otočený akokoľvek, tak Ivka vie zjesť najviac štyri buchty tak, aby jedna zo zjedených buchiet bola čerešňová.
Vzorové riešenie
Aby Ivka zjedla čerešňovú buchtu najneskôr ako štvrtú, musí mať už po tretej zjedenej istotu, ktorá zo zvyšných to je (ak na ňu dovtedy náhodou nenatrafila). Po zvyšok riešenia budeme predpokladať, že sa Ivke nepodarí zjesť čerešňovú buchtu skôr štvrtú v poradí.
O buchtách vieme, že sú v poradí: 7 kapustových, 7 mäsových, 1 čerešňová. To znamená, že v smere, v ktorom Ivka vykladala buchty (povedzme, že to bolo doprava, takže v smere hodinových ručičiek), je od čerešňovej buchty 7 kapustových a v opačnom 7 mäsových. Takže smerom doprava je medzi čerešňovou a každou mäsovou buchtou aspoň 7 kapustových (a možno ešte ďalšie mäsové) a naopak medzi čerešňovou a každou kapustovou buchtou je v opačnom smere aspoň 7 mäsových (a možno ešte ďalšie kapustové).
Zoberme teda prvú buchtu ľubovoľne. Ak je kapustová, vieme, že aspoň ďalších 7 buchiet napravo od nej nie je čerešňová (lebo najmenej musíme preskočiť všetkých 7 mäsových), takže ich už ani nemusíme skúšať. To isté, iba v opačnom smere, platí, ak je prvá buchta mäsová.
Zostalo 7 po sebe idúcich buchiet, ktoré môžu byť tá čerešňová. Naľavo od čerešňovej sú všetky mäsové, ktoré sme ešte nevylúčili, a napravo všetky také kapustové. Z týchto si vyberieme prostrednú: ak je kapustová, vieme, že čerešňová je v jednej z troch vľavo od nej, lebo čerešňová je vľavo od každej kapustovej buchty. Ak je mäsová, platí to isté, ale čerešňová buchta je určite vpravo.
Toto isté zopakujeme ešte raz s poslednými tromi buchtami, ktoré sme nevylúčili. Ak je táto tretia, ktorú Ivka ochutnala mäsová, čerešňová je vpravo od nej, ak je tá buchta kapustová, čerešňová je od nej vľavo.
Pre zhrnutie. Ivka bude postupovať nasledovne. Prvú buchtu si zvolí ľubovoľne. Ak bola prvá buchta kapustová, tak si ako druhú buchtu vyberie buchtu, ktorá je o 4 buchty proti smeru vyberania ďalej, inak si zvolí buchtu o 4 buchty v smere vyberania ďalej. Ak bola druhá buchta kapustová, tak si ako tretiu buchtu vyberie buchtu, ktorá je o 2 buchty proti smeru vyberania ďalej, inak si zvolí buchtu o 2 buchty v smere vyberania ďalej. Ak bola tretia buchta kapustová, tak si ako štvrtú buchtu vyberie buchtu, ktorá je o 1 buchtu proti smeru vyberania ďalej, inak si zvolí buchtu a 1 v smere vyberania ďalej.
Ivka týmto postupom každou zjedenou buchtou zmenší časť kruhu, v ktorej sa čerešňová buchta môže nachádzať na polovicu, takže po 3 buchtách bude vedieť, kde sa bude nachádzať.
Odpoveď: Ivka vie zjesť najviac 4 buchty tak, aby jedna zo zjedených bola čerešňová.