8. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Koberec ABCD je konvexný štvoruholník s pravým uhlom pri vrchole C. Na úsečke CD leží bod P tak, že |\sphericalangle APD| = |\sphericalangle BPC| a |\sphericalangle BAP| = |\sphericalangle ABC|. Dokážte, že |BC| = \frac{|AP|+|BP|}{2}.

Poznámka: Konvexný štvoruholník je taký, že všetky veľkosti jeho vnútorných uhlov sú menšie ako 180^\circ.

Vzorové riešenie

Opravovali: Kuchino, lukas, mati

Táto úloha sa dala vyriešiť nasledovným spôsobom:
Označme si uhol \vert \measuredangle DPA \vert= \vert \measuredangle BPC \vert= \alpha, \vert \measuredangle ABC \vert= \vert \measuredangle PAB \vert= \beta. Najprv dokážme že musí platiť \beta \lt 90:

Pozrime sa na štvoruholník ABCP, vieme že súčet jeho vnútorných uhlov musí byť 360. Preto musí platiť:

​\vert \measuredangle CPA \vert+ \beta + \beta + 90 = 360

Vieme, že \vert \measuredangle CPD \vert= 180 keďže P​ leží na \overline{CD}​, a \vert \measuredangle DPA \vert= \alpha,  preto \vert \measuredangle CPA \vert= 180 - \alpha aby sa to dokopy rovnalo 180. Dosadíme:

\begin{aligned} 180-\alpha + 2\beta +90 &= 360 &&/ - 270 \\2\beta - \alpha &= 90 &&/ + \alpha - 90 \\2\beta - 90 &= \alpha \end{aligned}

Ak by bolo \beta \geq 90 tak platí 2\beta \geq 180, 2\beta - 90\geq 90 \implies \alpha \geq 90. To by znamenalo že 2\alpha \geq 180, a keď sa pozrieme na uhol \vert \measuredangle CPD \vert, všimneme si že to je 2\alpha + \vert \measuredangle APB \vert= 180 keďže ​​2\alpha \geq 180 tak to znamená že \vert \measuredangle APB \vert\leq 0, záporný uhol neexistuje, a keby to bolo 0​ tak by to znamenalo že ide o zdegenerovaný štvoruholník, ktorý nedovoľuje zadanie.

Takže \beta \lt 90, čo znamená že môžeme predĺžiť priamku \overleftrightarrow{BC} a \overleftrightarrow{AP}, a určite sa pretnú, a ich prienik označím E. ​

Podľa vrcholových uhlov platí \vert \measuredangle DPA \vert= \vert \measuredangle EPC \vert= \alpha, a keďže

\begin{aligned} \vert \measuredangle BCE \vert&= \vert \measuredangle BCP \vert+ \vert \measuredangle PCE \vert&&= 180 \\\vert \measuredangle BCE \vert&= 90 + \vert \measuredangle PCE \vert&&= 180 \\\vert \measuredangle PCE \vert&= 90 \end{aligned}

Podľa vety USU musí teda platiť zhodnosť trojuholníkov \triangle BPC \text{ a } \triangle CPE,  lebo majú rovnaký uhol pri P​, pri C​ a rovnako dlhú stranu medzi nimi(PC)

Keďže sú zhodné, tak sa \vert EP \vert = \vert PB \vert, čo znamená že \triangle BEP je rovnoramenný. Všimnime si, že \vert AE \vert = \vert AP \vert + \vert EP\vert , a \vert EP \vert = \vert PB \vert, znamená to že \vert AE \vert = \vert AP \vert + \vert PB \vert.

​ABE je rovnoramenný s ramenami \overline{AE} a \overline{BE}, keďže uhly pri A a B sú zo zadania rovnaké.

Z toho dostávame že \vert BE \vert = \vert AP \vert + \vert PB \vert. Keďže sú \triangle BCP \text{ a } \triangle PCE zhdoné, tak rozdeľujú \overline{BE} na polovicu, z čoho dostávame že \vert BC \vert = \vert CE \vert = \frac12\vert BE \vert, dosadíme:

​\vert BC \vert = \frac{\vert AP \vert + \vert BP \vert}{2}

A tým sme dokázali úlohu.