6. príklad - Vzorové riešenie

Ak má číslo deliteľ, existuje k tomuto deliteľu “dvojica”, s ktorou majú súčin rovný pôvodnému číslu. Zároveň čím väčší je jeden deliteľ z dvojice, tým menší je druhý, aby sme mali stále rovnaký súčin. Číslo d, ktoré povie obchodník, je najväčší deliteľ n. Teda existuje nejaké menšie (poprípade rovnaké) číslo p, pre ktoré platí:

n = d \cdot p

Vieme, že p je najmenší deliteľ n väčší ako 1 (ak p=1, tak d = n, čo podľa zadania nemôže). Pretože ak by sme namiesto p dokázali dať menšie číslo, jeho dvojička by bola väčšia ako d, ale také číslo nemáme.

Zo zadania vieme, že:

n + d = 10^{x}

Za n si dosadíme d \cdot p a rovnicu upravíme:

d \cdot p + d = 10^{x}

d \cdot (p + 1) = 10^{x}

Číslo 10^{x} si vieme prepísať ako 5^{x} \cdot 2^{x}. Čiže dostaneme:

d \cdot (p + 1) = 2^{x} \cdot 5^{x}

Keďže čísla 2 a 5 sa už nedajú rozložiť na súčin iných čísel (sú prvočísla), tak aj na ľavej strane rovnice bude musieť byť súčin x dvojok, x pätiek (kde x je kladné celé číslo alebo 0), a ničoho iného. Aj d bude preto nejakým súčinom týchto čísel.

Pozrime sa, čo by sa stalo, ak by bolo d rovné 1. Ľubovoľné n je deliteľné samým sebou a 1. Vieme teda povedať, že ak jeho najväčší deliteľ, menší ako samotné číslo, je 1, tak nemá žiadnych iných deliteľov ako seba a 1 (je prvočíslo). Dvojička k najväčšiemu deliteľovi menšiemu ako n (1), bude teda n, lebo ich súčin musí byť n. Keď toto dosadíme do rovnice, ktorú sme si odvodili:

n + 1 = 10^{x}

n = 10^{x} - 1

V tomto prípade 10^{x} - 1 musí byť prvočíslo. To avšak nikdy nemôže platiť, lebo každé takéto číslo bude deliteľné 9, keďže všetky takéto čísla sú tvaru 9999..., čo bude mať ciferný súčet 9 \cdot k pričom k je počet cifier, čo je určite deliteľné 9.

Ak d nie je rovné 1, vieme dokázať, že p musí byť menšie ako 6. Vieme totiž, že p je najmenší deliteľ n, ale aj všetky delitele d (vrátane aspoň jednej dvojky alebo päťky) sú tiež delitele n (deliteľ deliteľa je aj deliteľom pôvodného čísla). Preto aby p ostalo najmenšie, musí byť najviac 5.

Vyskúšajme teda všetky možnosti pre p: (2, 3, 4 a 5):

Ak p = 2, tak potom (p+1) = 3, teda súčin d \cdot (p+1) by bol deliteľný 3, čo mocnina desať byť nemôže.

Ak p = 3, tak potom (p+1) = 4, teda platí:

d \cdot 4 = 10^{x} = 2^{x} \cdot 5^{x}

Zároveň d nemôže byť deliteľné 2, keďže najmenšie prvočíslo v rozklade n je 3 a d je súčinom nejakej jeho časti. Z toho vyplýva, že jediná časť súčinu na pravej strane obsahujúca dvojky je 4. A teda platí 4 = 2^{x}. Teda x = 2. Dosadíme naspäť:

d \cdot 4 = 100

A teraz už vieme, že v tejto možnosti d = 25 a n = d \cdot p = 75, čo je zároveň vyhovujúce n.

Ak p=4, tak potom aj číslo 2 je deliteľ n, pretože 2 je deliteľom p. p by teda nebolo najmenším deliteľom n.

Ak p = 5, tak potom (p+1) = 6, teda súčin d \cdot (p+1) by bol deliteľný 3, čo mocnina desať byť nemôže.

Odpoveď:  n = 75