3. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvú časť postupu si zistíme, koľko môže byť oblastí. V prvom rade si všimnime, že ak vynásobíme počet oblastí hodnotou každej oblasti (keďže v každej je rovnaká hodnota), dostaneme číslo 25​. To však znamená, že počet oblastí aj hodnota v každej oblasti musia byť delitele čísla 25​.

Tak sa pozrime na delitele čísla 25​. Sú to: 1,5,25​.

Koľko môže byť teda oblastí? No, zo zadania vieme, že iba jedna oblasť nie je možnosť. Na obrázku máme iba 12 trojuholníkov, teda ani 25 oblastí neprichádza v úvahu. Teda ostáva iba možnosť 5 - a teda vieme, že oblastí bude 5​. Zároveň si však vieme všimnúť, že ak má byť v každej oblasti rovnako veľká hodnota, a oblastí je 5​, tak v každej oblasti bude teda 25:5=5.

Teraz sa poďme pozrieť na samotnú hviezdičku.

Vidíme, že ak by sme chceli hviezdičku deliť na oblasti s hodnotou päť, tieto dvojice trojuholníčkov musia určite byť spolu v nejakej oblasti. Je to preto, lebo trojuholníčky na okraji nemôžu byť v oblasti osamote, pretože by sami na súčet päť nestačili. Musíme každému z nich priradiť aspoň jeden iný trojuholník. To môže byť len jeden, ten s nimi susediaci.

Skúsme teraz pre niektoré tieto zóny zistiť, či v nejakom delení musia byť ako samotná oblasť.

Pozrime sa najprv na zelenú oblasť. V prázdnom trojuholníčku môže byť buď 1​, alebo 2​ (inak by spolu s 3-kou presiahol súčet päť). Ak by tam bola jednotka, potrebuje táto zóna ešte nejaký iný trojuholníček, aby sme ju mohli vyhlásiť za platnú oblasť pri delení. V tomto bode budeme už mať súčet 4​, teda trojhulník s dvojkou vnútri už pridať nemôžeme. Preto by sme museli pridať do tejto oblasti prázdny trojuholník zo žltej zóny, to však znamená, že by sme museli pridať žltú zónu celú. To však už nefunguje, pretože spolu s dvojkou by sme už presiahli maximálny súčet v oblasti. Teda v prázdnom trojuholníku v zelenej zóne bude určite dvojka, a vždy keď budeme podľa pravidiel deliť hviezdu na oblasti, zelená zóna na našom obrázku bude musieť byť jednou z oblastí.

Rovnaký trik vieme použiť aj na žltú zónu. Môže tu byť buď 1,2​ alebo 3​. Ak by tu bola jednotka alebo dvojka, museli by sme k tejto zóne pridať ešte nejaké trojuholníky, aby mala súčet päť. My však už vieme, že zelenej zóny sa chytať nemôžeme. Preto by sme museli zasiahnuť do červenej zóny, pridať ju celú, čím by sme už presiahli súčet päť, keďže v červenej aj v žltej zóne musí byť súčet minimálne tri. Teda v prázdnom políčku v červenej zóne bude trojka.

Tu máme teda upravenú hviezdičku:

Pozrime sa teraz na zelenú zónu. Čo keby bolo nejaké políčko samotné v oblasti? To políčko by v sebe malo číslo 5​. Teda ako by potom vyzerala zelená zóna? Vieme, že v nej súčet je určite aspoň 1 +2+2+3+5=13. V prázdnych políčkach musí byť zároveň aspoň jednotka. Teda ostávajú nám ďalšie 3​ políčka, teda k súčtu 13 prirátame 3​, takže nám vyjde súčet aspoň 16​. Toto však nemôže byť, lebo v tejto zelenej zóne musíme vytvoriť práve 3​ oblasti, ktoré majú každá hodnotu 5​. My sme už však narátali súčet aspoň 16​, čo je spor. Teda nijaké políčko samostatné nebude.

Pozrime sa teraz na tieto trojuholníky:

Môžeme si všimnúť, že keďže žltý trojuholník nemôže byť sám v oblasti, musí byť spolu s aspoň červeným. Nemôže však už byť aj s modrým, pretože červený a modrý dokopy by dali súčet 5​, a spolu so žltým by to presahovalo súčet 5​. Ďalšia oblasť teda bude pozostávať zo žltej a červenej zóny.

Pozrime sa teraz na zelenú zónu. Znova, vieme už, že nemôže byť v oblasti sama, teda musí byť v oblasti aspoň s modrou zónou. Z obrázka 1 jedna tak isto vieme, že ak by bola zelená zóna v oblasti aj s ďalším trojuholníkom, teda tým pod modrým, musí byť v tej istej zóne aj políčko s jednotkou. No, a to by už opäť prekročilo v súčte limit 5​, pretože by sme v tejto oblasti mali dve prázdne políčka (ktoré majú hodnotu aspoň 1​), a políčko s hodnotou 3​, a políčko s hodnotou 1​. To je 1+1+1+3 = 6, čo je viac ako povolených 5​. Teda oblasť bude pozostávať zo zeleného a modrého trojuholníka. Toto má na doplnenie iba jednu možnosť, a to, že v zelenom trojuholníku bude 2​. 

Nakoniec nám ostáva urobiť iba poslednú zónu zo zvyšných trojuholníkov. To má opät iba jednu možnosť, a to takú, že dáme do voľných trojuholníkov jednotky.

Všimnime si, že sme počas celého riešenia dopĺňali čísla, ktoré inú možnosť na doplenenie nemajú. Dokázali sme tak, že toto riešenie je jediné možné, a žiadne iné validné nie je. Toto je tiež dôležitá časť riešenia.