2. príklad - Vzorové riešenie

Zo zadania vieme, že súčet žiadnych po sebe idúcich čísel (kľudne aj viacerých ako dvoch) nie je 3. Z toho vyplýva, že v hľadanom čísle nemôžeme mať takéto cifry:

• Tri jednotky za sebou
• Jednotku a dvojku, v tomto poradí aj naopak
• Zadanie zakazuje aj cifru 0

Zadanie hovorí, že súčet žiadnych po sebe idúcich čísel nemôže byť 3. Keď v matematike hovoríme o "nejakom počte", počet môže byť rovný aj jednej (Dokonca nevylučuje ani 0​, ani keď pri opise vecí použijeme množné číslo. Táto formulácia je však problematická, viď. komentár.). Zároveň súčet (narozdiel od sčítania) môžeme urobiť nie len viac ako dvoch, ale aj jedného čísla. Teda nemôžeme použiť ani samotnú cifru 3 - je to jedna cifra, ktorá má súčet 3. (viac na konci komentára)

Všetky ostatné čísla môžeme používať ľubovoľne, z čísel väčších ako 3 súčet 3 nedostaneme, ani z cifry 2 a inej cifry ako 1.

a)

Ak by sme použili 11 cifier 2, dostali by sme súčet čísel 11\times2=22, čo je menej ako potrebných 23. Preto tam musí byť aspoň jedna cifra väčšia ako 2.

Najmenšiu cifru väčšiu ako 2 môžem mať cifru 4 (3 nemôžeme použiť. Súčet zvyšných 10 cifier musí byť tým pádom 23-4=19. To môžeme docieliť napríklad súčtom 9 dvojok a 1 jednotky (9×2+1=19).

Teraz nám už iba stačí usporiadať 9 dvojok, 1 jednotku a 1 štvorku. Cifry 1 a 2 nesmú byť vedľa seba, aby nemali súčet 3. Bude medzi nimi štvorka - jediná iná cifra ktorú máme. Máme k dispozícii iba 1 štvorku, takže z druhej strany cifry 1 už nemôže byť nič iné ako okraj (koniec alebo začiatok) čísla. Konečné usporiadanie po dodržaní všetkých podmienok môže byť v našom prípade napríklad 14222222222.

V tejto podúlohe je viacero možností, ako mohlo číslo vyzerať, no stačí nám nájsť jednu možnosť, aby sme mohli odpovedať, že číslo mohlo mať 11 cifier.

b)

Ak by sme v tejto podúlohe skúšali nájsť číslo podobne ako v tej predošlej, rýchlo by sme zistili, že je ťažké dodržať podmienky zo zadania bez toho, aby malo číslo vyšší súčet ako 23. Preto sa môžeme zamyslieť, či to vôbec pôjde, a ak nie, tak ako by sme to vedeli dokázať. Namiesto celého 12-ciferného čísla sa najprv môžeme pozrieť na menšiu časť, a zistiť, aký najmenší súčet bude musieť mať.

Poďme dokázať, že súčet troch po sebe idúcich cifier v hľadanom čísle musí byť najmenej 6, a to tak, že vylúčime všetky menšie možnosti.

Súčet 3: Tento súčet by mohol byť najmenší možný, pretože každá cifra je aspoň 1 (1+1+1=3). Presne súčet 3 je ale zakázaný zadaním.

Súčet 4: Ak by sme chceli dostať súčet o jedna vyšší, teda 4, tak musíme jednu z cifier zvýšiť, boli by to teda 2, 1, 1. Nech ich ale ľubovoľne usporiadame, vždy bude cifra 2 vedľa aspoň jednej z cifier 1 a znova dostaneme súčet 3.

Súčet 5: Ak by bol súčet 3 po sebe idúcich cifier 5, tak bez použitia cifry 3 sa tento súčet dá vytvoriť iba ako 2+2+1. Tieto cifry tiež nevieme usporiadať bez toho, aby boli cifry 1 a 2 vedľa seba.

Súčet 6 sa už dá vytvoriť tak, aby neporušoval podmienku zo zadania a to ciframi 1+1+4=6.

Hľadané 12-ciferné číslo si vieme rozdeliť na 4 trojice po sebe idúcich cifier. Vieme, že každá táto trojica má súčet aspoň 6, inak by určite porušovala zadanie. Súčet cifier vo všetkých štyroch trojiciach teda musí byť určite aspoň 4×6=24. Tým sme dokázali, že nemôže existovať 12-ciferné číslo autobusu, ktoré má súčet cifier 23 a spĺňa zvyšné podmienky zo zadania.

Odpoveď: Číslo autobusu mohlo mať 11 cifier, ale nemohlo mať 12 cifier.

Komentár

Ospravedlňujeme sa za nie úplne jasnú formuláciu zadania ohľadom používania jednej po sebe idúcej cifry 3, a jej súčtu.Všetkým riešiteľom, ktorí správne vyriešili úlohu s používaním cifry 3, sme pôvodne udelili menší počet bodov, pretože sa tak príklad riešil výrazne ľahšie.

Táto formulácia je však problematická a myslíme si, že nemôžeme od riešiteľov vyžadovať, aby z nej správne porozumeli zadaniu. Upresnenie sme napísali do komentára, ktorý si však neprečítali všetci. Tí čo si ho prečítali však riešili náročnejšie zadanie, a nie vždy sa im podarilo ho doriešiť. Preto nakoniec všetci riešitelia dostávajú za túto úlohu 10 bodov, ak zvládli prísť k niečomu, čo je porovnateľné so správnym riešením vo verzii, kde môžeme využívať cifru 3.

Čo sa týka samotného používania spomínaných formulácií v matematike, ponúkame ešte jednu ilustráciu na príklade. Ten je omnoho jasnejší ako to, čo vzniklo v našom príklade, no ukazuje, že takúto možnosť je dobré si uvedomovať.

Pokiaľ dopredu nevieme koľko čísel budeme sčítavať, tak sa oplatí mať definované, čo znamená súčet jedného, alebo nula čísel. Často sa teda súčet nula čísel definuje ako 0 a súčet jedného čísla ako to číslo, ktoré sčítavame. Predstavme si, že čakáme kamarátov, ktorí nám prídu na oslavu a každý nám donesie niekoľko koláčov. Tak nakoniec počet koláčov bude súčet počtov, ktoré doniesli, jednotliví kamaráti. Ale čo ak nepríde žiaden kamarát? Tak ten súčet bude 0. Ak príde jeden, tak ten súčet bude toľko, koľko koláčov prinesie. Preto si treba dať pozor, čo presne súčtom myslíme.
Podobne v matematike je bežné, že ak pracujeme s množným číslom, napríklad “Nájdi všetky riešenia,” tak sa to nevylučuje s tým, že je riešenie iba jedno, alebo dokonca žiadne.