2. príklad - Vzorové riešenie

Zo zadania vieme, že súčet žiadnych po sebe idúcich čísel (pokojne aj jedného, alebo viac ako dvoch) nie je 3. Z toho vyplýva, že v hľadanom čísle nemôžeme mať takéto cifry:

• Tri jednotky za sebou
• Jednotku a dvojku, v tomto poradí aj naopak
• Tiež v našom riešení nemôžeme používať číslo 3
• Zadanie zakazuje aj cifru 0

Všetky ostatné čísla môžeme používať ľubovoľne, z čísel väčších ako 3 súčet 3 nedostaneme, ani z cifry 2 a inej cifry ako 1.

a)

Ak by sme použili 11 cifier 2, dostali by sme súčet čísel 11\times2=22, čo je menej ako potrebných 23. Preto tam musí byť aspoň jedna cifra väčšia ako 2.

Najmenšiu cifru väčšiu ako 2 môžem mať cifru 4 (3 nemôžeme použiť. Súčet zvyšných 10 cifier musí byť tým pádom 23-4=19. To môžeme docieliť napríklad súčtom 9 dvojok a 1 jednotky (9×2+1=19).

Teraz nám už iba stačí usporiadať 9 dvojok, 1 jednotku a 1 štvorku. Cifry 1 a 2 nesmú byť vedľa seba, aby nemali súčet 3. Bude medzi nimi štvorka - jediná iná cifra ktorú máme. Máme k dispozícii iba 1 štvorku, takže z druhej strany cifry 1 už nemôže byť nič iné ako okraj (koniec alebo začiatok) čísla. Konečné usporiadanie po dodržaní všetkých podmienok môže byť v našom prípade napríklad 14222222222.

V tejto podúlohe je viacero možností, ako mohlo číslo vyzerať, no stačí nám nájsť jednu možnosť, aby sme mohli odpovedať, že číslo mohlo mať 11 cifier.

b)

Ak by sme v tejto podúlohe skúšali nájsť číslo podobne ako v tej predošlej, rýchlo by sme zistili, že je ťažké dodržať podmienky zo zadania bez toho, aby malo číslo vyšší súčet ako 23. Preto sa môžeme zamyslieť, či to vôbec pôjde, a ak nie, tak ako by sme to vedeli dokázať. Namiesto celého 12-ciferného čísla sa najprv môžeme pozrieť na menšiu časť, a zistiť, aký najmenší súčet bude musieť mať.

Poďme dokázať, že súčet troch po sebe idúcich cifier v hľadanom čísle musí byť najmenej 6, a to tak, že vylúčime všetky menšie možnosti.

Súčet 3: Tento súčet by mohol byť najmenší možný, pretože každá cifra je aspoň 1 (1+1+1=3). Presne súčet 3 je ale zakázaný zadaním.

Súčet 4: Ak by sme chceli dostať súčet o jedna vyšší, teda 4, tak musíme jednu z cifier zvýšiť, boli by to teda 2, 1, 1. Nech ich ale ľubovoľne usporiadame, vždy bude cifra 2 vedľa aspoň jednej z cifier 1 a znova dostaneme súčet 3.

Súčet 5: Ak by bol súčet 3 po sebe idúcich cifier 5, tak bez použitia cifry 3 sa tento súčet dá vytvoriť iba ako 2+2+1. Tieto cifry tiež nevieme usporiadať bez toho, aby boli cifry 1 a 2 vedľa seba.

Súčet 6 sa už dá vytvoriť tak, aby neporušoval podmienku zo zadania a to ciframi 1+1+4=6.

Hľadané 12-ciferné číslo si vieme rozdeliť na 4 trojice po sebe idúcich cifier. Vieme, že každá táto trojica má súčet aspoň 6, inak by určite porušovala zadanie. Súčet cifier vo všetkých štyroch trojiciach teda musí byť určite aspoň 4×6=24. Tým sme dokázali, že nemôže existovať 12-ciferné číslo autobusu, ktoré má súčet cifier 23 a spĺňa zvyšné podmienky zo zadania.

Odpoveď: Číslo autobusu mohlo mať 11 cifier, ale nemohlo mať 12 cifier.

Komentár

Ospravedlňujeme sa za nie úplne jasnú formuláciu zadania ohľadom používania cifry 3. Všetkým riešiteľom, ktorí správne vyriešili úlohu s používaním cifry 3, sme udelili menší počet bodov, pretože sa riešili výrazne ľahšie.