10. príklad - Vzorové riešenie

Najprv si premyslime hornú hranicu, teda zistime, ktoré čísla v množine určite nebudú. Na "začiatku" v množine máme čísla ​0, m, n a m-n. Všimnime si, že všetko sú to čísla v tvare im+jn pre nejaké celé koeficienty i,j. No a takýto tvar budú mať aj všetky čísla, ktoré z nich vyskladáme povolenými pravidlami:

• ak sa v množine nachádza a, tak aj -a sa v nej nachádza, no a toto číslo očividne vieme vyjadriť v správnom tvare: ak a=im+jn, potom -a=(-i)m+(-j)n
• ak sa v množine nachádza a,b,a-b, potom je tam aj a+b, no a keďže a aj b vieme vyjadriť ako nejaké a=im+jn a b=km+ln, tak potom vieme vyjadriť aj a+b=(i+k)m+(j+l)n

Vidíme teda, že naozaj, v množine vieme mať iba čísla tvaru im+jn, teda súčet nejakých násobkov m a n.

Ihneď si môžeme položiť otázku: dajú sa skutočne vyskladať všetky takéto čísla? Odpoveď je taká, že áno. Spravíme to nasledovne:

• Samozrejme, máme čísla m, n, m-n a 0. Máme aj -m, -n a -(m-n)=n-m, a podľa švrtého pravidla vyskladáme aj m+n a jeho zápor -m-n.​
• vieme vyskladať všetky násobky m. Ako? Najprv využijeme fakt, že máme číslo m, a máme aj číslo m-m=0, teda vieme vyskladať číslo m+m=2m. Podobne vieme pokračovať k vyšším kladným násobkom: máme číslo 2m, m a 2m-m=m, teda vyskladáme 2m+m=3m. A tak ďalej, pre každé ďalšie x: už máme xm, m​ aj xm-m=(x-1)m, teda vieme spraviť aj xm+m=(x+1)m. Zároveň ku každému tomuto kladnému násobku v množine bude aj násobok záporný, a nulu máme už od začiatku. Teda máme všetky násobky m.
• teraz skúsme spraviť niečo podobné, ale pre čísla tvaru im+n, teda násobky m zvýšené o n. Už máme -m+n, n aj m+n, teda použime podobný postup ako naposledy: máme m+n, m aj (m+n)-m=n, teda zostrojili sme (m+n)+m=2m+n. A tak ďalej, máme xm+n, m​, (xm+n)-m=(x-1)m+n, teda získali sme (xm+n)+m=(x+1)m+n. No a záporné násobky tentokrát nemôžeme dostať tak jednoducho, pretože z n by sa stalo -n, vieme ale spraviť toto: máme -m+n, -m, (-m+n)-(-m)=n a teda dostaneme (-m+n)+(-m)=-2m+n, a tak ďalej, z -xm+n, -m, (-xm+n)-(-m)=-(x-1)m+n dostaneme (-xm+n)+(-m)=-(x+1)m+n...
• dobre, už máme všetky možné im+jn, pokiaľ j je 0 alebo 1. Ako vyskladáme všetky ostatné? Pre všetky i vieme spraviť toto: máme už im aj im+n, tak teda opäť opakujeme podobný postup, ako doteraz: máme im+n, n aj (im+n)-n=im, teda máme aj (im+n)+n=im+2n, a tak ďalej, z im+xn, n a (im+xn)-n=im+(x-1)n dostaneme (im+xn)+n=im+(x+1)n. A ako dostať im+jn kde j je záporné? Mohol by som takýto postup rozpísať ešte raz, ale nechce sa mi :) takže proste stačí povedať: máme všetky čísla tvaru im+jn kde j je nezáporné, tak ich proste znegujeme a dostaneme aj tie, kde j je záporné.​

Teda ukázali sme, že vieme dostať všetky čísla tvaru im+jn, a zároveň, že žiadne iné. Teda množina S musia byť práve tieto čísla a žiadne iné.

Ak chceme byť konkrétnejší, dá sa povedať, že sú to práve násobky najväčšieho spoločného deliteľa m,n. Naozaj - takzvaná Bézoutova identita hovorí, že NSD sa v takomto formáte vždy dá zapísať, no a to, že všetky jeho násobky (a žiadne iné čísla) sú v tvare im+jn je veľmi jednoduché ďalej dokázať :).

Poznámka k zadaniu:

Ospravedlňujeme sa, zadanie tejto úlohy bolo trochu nesprávne (ale našťastie ho všetky vaše riešenia pochopili správne). Hovorí sa tam, že treba nájsť všetky množiny S, ktoré spĺňajú dané podmienky. Týchto je omnoho viac než len táto jedna, ktorú sme my našli - napríklad aj množina všetkých celých čísel ich spĺňa (vyskúšajte si to)! Avšak zamýšľaným riešením je len táto jedna množina, kde sú len tie prvky, ktoré sa dajú týmito pravidlami z pôvodných štyroch vyskladať (to je niečo iné, než ľubovoľná množina, ktorá ich spĺňa...).