Vzorové riešenia 3. kola

Turnaja sa zúčastnilo 5​ ľudí a z nich bol deviatak prostredný, teda tretí. Z poslednej podmienky vieme, že piatak skončil hneď za víťazom, teda druhý. Štefan skončil hneď pred ôsmakom a ten nebol posledný. Ôsmak tak nemohol byť ani prvý, ani posledný. Druhé a tretie miesto už je zabraté piatakom a deviatakom, ôsmak teda musel byť štvrtý. Zostalo voľné tak už len prvé a posledné miesto. Mišo skončil hneď za šiestakom, teda šiestak nemohol byť posledný. Takže šiestak bol prvý. Siedmakovi zostalo už len jedno miesto a to posledné. 

Teraz je ešte treba overiť, či ku týmto výsledkom naozaj mohlo dojsť. Podľa podmienok zo zadania teraz už ľahko zistíme, že Mišo bol druhý a Štefan tretí. Spomenutý bol aj Jožo, ktorý môže byť prvý aj štvrtý, len piaty nie, lebo hral jeden turnaj proti siedmakovi, ktorý je práve na tom piatom mieste. Tak či onak, všetky podmienky sú splnené a našli sme teda správnu odpoveď.

Odpoveď: Siedmak sa umiestnil na poslednom, piatom mieste.

Napíšme si daný súčin klasicky pod seba (hodnoty x_1, \dots, x_8 je prechod cez 10​ pri predchádzajúcej cifre):

\begin{aligned}&&&&A&&B&&C\, \\&&&&C&&B&&A\, \\ \hline&&x_3\quad&&AA+x_2&&AB+x_1&&AC\, \\x_6\quad&&BA+ x_5&&BB+x_4&&BC&& \\CA+x_8&&CB+x_7&&CC&&&& \\ \hline9\quad&&2\quad&&5\quad&&6\quad&&5\,\end{aligned}

Môžeme si všimúť, že súčin AC musí končiť cifrou 5​. Takže A alebo C je rovné 5 a to druhé musí byť nutne nepárne, inak by posledná cifra bola 0. Tiež si vieme všimnúť, že tento súčin spolu s prechodom tvorí aj prvú cifru. To znamená, že tento súčin musí byť menší ako 10, inak by nám vzniklo až šesťciferné číslo, ale zároveň musí byť väčší ako 1, inak by nám mohlo vzniknúť iba štvorciferné číslo. Teda jediná možnosť pre druhú cifru k 5  je 1, takže A alebo C je 5 a to druhé je 1.

Teraz sa pozrime na druhý stĺpec zprava. AB+x_1+BC má mať poslednú cifru 6. Vieme, že z AC prechod nie je, takže vieme tento súčet upraviť na B\cdot(A+C)=B\cdot(5+1)=6\cdot B. Tento výsledok má končiť na 6 a to nám dáva iba dve možnosti na B a to 1 alebo 6.

To nám dáva 4 možnosti ako mohlo číslo ABC vyzerať: 115, 165, 511, 561. Tým, že sa číslo ABCnásobí číslom s opačným poradím cifier CBA a dvojice čísel 115, 511 a 165, 561 sú čísla s opačným poradím cifier , tak stačí vyskúšať len možnosti, ktoré sa líšia v hodnote cifry B.

• ​115\cdot511=58\,765, to je málo
  
• 165\cdot561=92\,565, to je správne​
  

Odpoveď: Na tachometri mohlo byť buď číslo 165 alebo číslo 561.​

Čísla, ktoré sú vyrezané si označíme písmenami A​ až F​. Ak chceme aby na papieroch, na ktoré Macker napísal čísla, boli za sebou idúce čísla tak si ich vieme označiť x, (x+1),...​ až (x+5)​. Takisto by sme si ich mohli označiť ako x, (x-1), ...​, na riešení by to nič nezmenilo: (x-5)​ by sa rovnalo predošlému x​ a terajšie  x​ by sa rovnalo v predošlom označení (x+5)​. x​ sa zároveň rovná (A-B) lebo označenie čísel na stole si vieme vybrať tak aby A​ bolo pri x​, (x+1)=B-C a tak ďalej až (F-A)=x+5.

Súčet čísiel na papierikoch je nasledovný:

 x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=6x+15

Tento istý súčet si vyjadríme pomocou čísiel A​ až F:

​(A-B)+(B-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-A)=(A-A)+(B-B)+(C-C)+(D-D)+(E-E)+(F-F)=0
Kedže všetky zátvorky iba sčítavame tak si ich môžeme odstrániť a preusporiadať si čísla tak aby sme mali vždy dvojicu N-N ktorá je rovná 0​. Takto dostaneme že každé číslo je v takejto dvojici a teda celkový súčet je 0​​

Vidíme teda, že súčet všetkých čísel na papierikoch je rovný 6x+15 a zároveň 0​, takže 6x+15=0 respektíve 6x=-15. Teraz si môžeme obe časti vydeliť 6​ a dostaneme x=-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}=-2.5. Kedže ale x  je číslo na papieriku, tak musí byť celé číslo. -2.5 ale nie je celé číslo takže čísel na stole nemohlo byť 6, lebo v zadaní máme zadané že všetky čísla boli celé avšak nám vyšlo že čísla na papierikoch museli byť -2.5,-1.5,-0.5,0.5,1.5,2.5.​

Teraz sa pozrieme na možnosť, že na stole bolo 7​ čísel. V tejto možnosti máme to isté čo pri 6 číslach ale pridáme číslo G. Čísla si vieme tento raz označiť ako x,x+1,x+2...x+6 a zároveň tak ako pri 6 číslach platí že (A-B)=x, (B-C)=x+1 a tak ďalej až po (G-A)=x+6.​

Súčet na papierikoch bude teda teraz nasledovný:

​x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)=7x+21

A ten istý súčet vyjadrený pomocou čísel A až G bude:

(A-B)+(B-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-G)+(G-A)=(A-A)+(B-B)+(C-C)+(D-D)+(E-E)+(F-F)+(G-G)=0

Dostali sme teda znovu to čo pri možnosti so 6 číslami ale tento raz 7x+21=0. Túto rovnicu si upravíme na 7x=-21 a následne obe strany vydelíme 7, takto dostaneme že x=-\frac{21}{7}=-3. -3 je celé číslo takže spĺňa zdanie, pozrime sa teraz na to aké rozdiely boli na papierikoch a čomu sa mohli rovnať čísla na stole.

čísla na papierikoch boli postupne -3,-2,-1,0,1,2,3 a čísla na stole mohli byť ľubovolné také aby ich rozdieli boli poporadí takéto, napríklad ak A=0 tak by sme dostali čísla 0,3,5,6,6,5,3. Tieto čísla naozaj spĺňajú zadanie takže 7 čísel na stole mohlo byť.

Odpoveď: Na stole mohlo byť 7 čísel ale nemohlo ich byť 6.​

Najmenší počet účastníkov, ktorý by mohol byť, je 15​. Všetky počty musia byť rôzne, zoberieme teda 5najmenších kladných čísel 1+2+3+4+5​. Pri počte 15​ určite nemáme inú možnosť, aké veľké by mohli byť kôpky (lebo sme zobrali úplne najmenšie), a teda ich veľkosti vieme jednoznačne povedať. Poďme si to ale ešte trochu rozmyslieť.

Ak by mala existovať iná kombinácia čísiel, ktoré budú mať rovnaký súčet, dostaneme ju tak, že niektoré čísla z pôvodnej kombinácie zväčšíme, a iné o rovnako veľa zmenšíme. Pri súčte 15​ ale žiadne číslo zmenšiť nemôžeme, keďže všetky čísla nižšie už sú vždy použité. 

Podobne môžeme argumentovať pri súčte 16​, ktorý dostaneme ako 1+2+3+4+6. Jediné číslo, ktoré môžeme zmenšiť, aby sme dostali inú kombináciu, je číslo 6​, a môžeme ho zmenšiť iba o 1​. Iné číslo by sme potom ale museli zväčšiť o 1​, aby zostal súčet rovnaký, no všetky výsledné čísla už máme použité. To platí aj pre číslo 4​, keďže 5​ sme už dostali zmenšením 6​-ky.

Pri ďalšom súčte 1+2+3+4+7=17 môžeme opäť zmenšiť číslo 7​. Napríklad o 1​, a potom vieme zväčšiť 4​-ku. Tým dostaneme novú kombináciu ako dostaneme číslo 17​: 1+2+3+5+6. Podobne pri všetkých vyšších súčtoch máme možnosť zobrať 1+2+3+4+x​, kde môžeme zmenšiť x​ o 1​ a zväčšiť 4​ o 1​ bez toho, aby sa nám čísla opakovali. Konkrétnejšie, keď chceme dostať súčet n​, budeme mať možnosti 1+2+3+4+(n-10)​ alebo 1+2+3+5+(n-11)​. Samozrejme, pri vyšších číslach bude možností ešte oveľa viac, no stačia nám dve na to, aby sme nevedeli s istotou určiť, ktorá z nich to bola.​

Odpoveď: Účastníkov mohlo byť 15 alebo 16.

Túto úlohu budeme riešiť sporom. To znamená, že najprv budeme predpokladať, že máme také rozloženie vedúcich a toho ako si pomáhajú, v ktorom neexistuje trojica vedúcich ABC​ kde A​ pomáha B​, B​ pomáha C​ a C​ pomáha A. A potom sa pokúsime nájsť nejaký protiklad/spor a tým dokázať, že takéto rozloženie nemôže existovať.

Takúto trojicu kde si vedúci pomáhajú do kruhu nazvime pomáhajúcou trojicou. Vedúcich si označíme KLMNOPQRS​ kde K​ pomáha L​, L pomáha M​ a tak ďalej až po S​ pomáha K​. Všimnime si, že keďže predpokladáme, že neexistuje pomáhajúca trojica, musí K​ pomáhať M​, lebo inak by KLM bola pomáhajúca trojica. Podobne teraz K musí pomáhať aj N​ aby nevznikla pomáhajúca trojica KMN​. Toto vieme povedať aj pre všetkých vedúcich OPQR​. K​ musí pomáhať O​ aby nevznikla KNO​ pomáhajúca trojica. Potom K​ musí pomáhať postupne aj P,Q,R​ aby nevznikli pomáhajúce trojice KOP, KPQ, KQR​. Teraz však K​ pomáha R​, R​ pomáha S​ (S​ je naľavo od R​) a S​ pomáha K​ (K​ je naľavo od S​). Toto je spor, nakoľko sme predpokladali, že nemáme ani jednu pomáhajúcu trojicu a napriek tomu sme jednu našli. To znamená, že nech si pomáhajú ľubovoľne, vždy musí existovať trojica vedúcich ABC​ kde A​ pomáha B​, B​ pomáha C​ a C​ pomáha A.

Keďže v každom z ôsmich stĺpcov musí byť súčet čísel rovnaký, súčet všetkých čísel v tabuľke musí byť násobkom 8​. Rovnako zo zadania vieme, že v dolnom riadku je súčet čísel dvojnásobok horného riadku. Preto ak je súčet v dolnom riadku je rovný nejakému číslu X​, v dolnom riadku bude súčet čísel 2 \cdot X​. Z toho vyplýva, že celkový súčet čísel v tabuľke je 2\cdot X+X=3\cdot X​, teda násobok 3​. Súčet čísel musí byť násobok troch aj ôsmich, čo je iba v prípade, že je aj násobkom 24​ (to vďaka tomu, že 3​ a 8​ nemajú spoločného deliteľa, teda nevieme nejakým menším násobkom splniť obe podmienky).

Tabuľka má 2\cdot 8​, teda 16 políčok. My však dopĺňame čísla od 1​ do 17​, ktorých je 17​. Z toho vyplýva že musíme 1​ číslo vynechať. Celkový súčet čísel v tabuľke bude teda rovný súčtu všetkých čisel od 1​ do 17​ (to je 153​) bez jedného čísla. To môže byť najmenej 153-17=136​ (ak nepoužijeme 17​-ku) a maximálne 153-1=152​ (ak nepoužijeme čislo 1​). Jediné z čísel medzi 136​ a 152​, ktoré je násobkom 24​, je 144​. Číslo ktoré odčítame od 153​ aby sme dostali 144​ je 9​, preto práve číslo 9​ nepoužijeme. Iné násobky 24 v danom rozmedzí určite nebudú, lebo najbližšie násobky 24 sú 120 a 168.

Keďže máme osem stĺpcov a v každom má byť súčet čísel rovnaký, tak tento súčet vieme vypočítať ako \frac{144}8 = 18​. Všimnime si, že každé z našich zostávajúcich čísiel dáva súčet 18​ s práve jedným iným číslom.

18 = 17 + 1 = 16 + 2 = 15 + 3 = 14 + 4 = 13 + 5 = 12 + 6 = 11 + 7 = 10 + 8​

Vieme teda, že keď je jedno z čísel v tabuľke, tak jeho dvojica bude určite v tom istom stĺpci.

Poďme teda vyskúšať nejaké rozloženie čísel. V dolnom riadku má byť súčet vyšší, dajme tam teda vždy väčšie číslo z dvojice (ako hovorí zadanie, je jedno ktorý stĺpec patrí ktorej dvojici):

Teraz máme v hornom riadku súčet 36 a v dolnom 108. My ale vieme, že v dolnom riadku má byť súčet dvakrát väčší ako v hornom riadku, pričom spolu majú súčet 144​. Z už spomínanej rovnice X + 2\cdot X = 3 \cdot X = 144 vydelením tromi vypočítame X=48​

Čiže súčet v hornom riadku má byť 48​ a v dolnom 96​. Naša dočasná tabuľka sa od tohto líši o 12​ (48-36​ v hornom). Potrebujeme teda niektoré čísla z horného riadku vymeniť za väčšie. To môžeme urobiť vrámci stĺpca a nijak inak, lebo dvojice v stĺpcoch musia zostať spolu.

Môžeme si pod tabuľku napísať, o koľko sa zmení súčet keď čísla v konkrétnom stĺpci vymeníme:

My potrebujeme zmeniť súčet o 12​, čo vieme poskladať z týchto čísel (samozrejme sa nemôžu opakovať) len nasledovnými spôsobmi:

12 = 10 + 2 = 8 + 4 = 6 + 4 + 2​

Iné spôsoby nie sú, o čom sa môžeme presvedčiť postupne podľa počtu výmen.

Pri jednej výmene to musí byť práve 12​.

Pri dvoch výmenách nemôžeme použiť zmeny väčšie ako 10​, a 6​-ka by musela byť použitá s ďalšou 6​-kou, čo nemáme.

Pri troch výmenách bude súčet vždy príliš veľký, okrem prípadu keď použijeme tri najmenšie. Z toho už je jasné, že viac výmen urobiť nemôžeme.

Po zrealizovaní týchto výmen dostávame tieto rozloženia:

​

Prípadne môžeme lubovoľne preusporiadať stĺpce čo nemení odpoveď.

Odpoveď: Sú celkovo 4 spôsoby ako vedúcich rozmiestniť.

Zo zadania vieme len obsah vyznačeného úseku a dĺžku strany štvorca. S týmito údajmi nevieme priamo vypočítať obsah žiadnej z tmavých častí. Môžeme sa teda pozrieť na počítanie obsahov väčších častí, ktoré obsahujú tmavšie aj bledšie útvary. Označme si najprv body, ktoré budeme pri riešení potrebovať. Konkrétne bodyA,\, B,\, C,\, D,\, E,\, F,\, G,\, H,\, I,\, J.

Skúsme vypočítať obsah \triangle ABC. Ale najprv sa pozrime, či poznáme dĺžku výšky a strany. Zo zadania vieme, že \left| AC \right| = 12m, takže dĺžku strany poznáme, a výška na stranu AC = 12m, čo taktiež vyplýva zo zadania. Teraz len dáme stranu a výšku do vzorca pre výpočet obsahu trojuholníka.

S_{ABC} = \dfrac{\left| AC \right| \times \left| V_{AC} \right|}{2}

S_{ABC} = \dfrac{12 \times 12}{2}

S_{ABC} = 72 \text{m}^2

V \triangle ABC máme aj časť, ktorá má zo zadania obsah 12 \text{m}^2. Teraz vieme vypočítať súčet obsahov AGFJC a BHI:

S_{AGFJC} + S_{BHI} = S_{ABC} - 12 \text{m}^2
S_{AGFJC} + S_{BHI} = 72 - 12 = 60 \text{m}^2

Pozrime sa na \triangle ADE a\triangle ADC a porovnáme ich obsahy. Výška na stranu AD = 12m v oboch trojuholníkoch. Ale dĺžku strany AD nepoznáme. Preto si ju zaznačíme značímeAD:

S_{ADE} = \dfrac{\left| AD \right| \times \left| V_{AD} \right|}{2} = \dfrac{AD \times 12}{2}

S_{ADC} = \dfrac{\left| AD \right| \times \left| V_{AD} \right|}{2} = \dfrac{AD \times 12}{2}

Dostali sme rovnaký výraz pre obsah S_{ADE} aj S_{ADC}. Z toho vyplýva, žeS_{ADE} = S_{ADC}

Môžeme si všimnúť, že \triangle ADF je prienikom \triangle ADC a \triangle ADE.

To znamená, že obsah častí, ktoré sa neprekrývajú, je rovnaký(konkrétne S_{AFC} = S_{AFE})

Predtým sme si ukázali žeS_{AGFJC} + S_{BHI} = 60 \text{m}^2. Tým, že platíS_{AFC} = S_{AFE}, \triangle AFC môžeme vymeniť za \triangle AFE a stále je obsah výsledného telesa (AGDHBIEJCF)60 \text{m}^2

Všimnime si, že tento útvar sa skladá zo všetkých tmavých častí a nachádza v ňom len jedna svetlá časť,FGHIJ, ktorá má zo zadania obsah12 \text{m}^2. Obsah všetkých tmavých častí (označme si ho S) tým pádom dostaneme, rozdielom S_{AGDHBIEJCF} a S_{FGHIJ}:

S = S_{AGDHBIEJCF} - S_{FGHIJ}
S = 60 - 12
S = 48 \text{m}^2

Odpoveď: Obsah všetkých miest na sedenie je 48 \text{m}^2.

Ako prvé si môžeme zapísať zadanie viac matematicky. "n​ účastníkov sa dalo rozdeliť 4-ma spôsobmi do skupín" znamená, že číslo n má práve 4 rôzne delitele.  "jeden účastník pribudol a už sa to dá len 3 spôsobmi" znamená, že číslo n+1 má práve 3 rôzne delitele.

Pozrime sa teda na to, ktoré čísla majú práve 3 rôzne delitele:

Vieme, že každé číslo ​x​ väčšie ako 1 má aspoň 2 delitele a to 1 a x. Zároveň si ale môžme všimnúť, že ak má číslo x v prvočíselnom rozklade dve rôzne prvočísla tak tieto prvočísla budú ďaľšie dva delitele x, okrem vyššie ukázaných deliteľov 1 a x. To ale znamená že x bude mať už 4​ delitele, čo je priveľa. Takže x bude mať v prvočíselnom rozklade iba jedno unikátne prvočíslo. Z tohto nám vyplýva že x sa dá zapísať v tvare p^k.

Pozrime sa teda na to, čo môže byť:

• k​  nemôže byť 1​ lebo x=p^1=p​ a p​ má iba delitele 1 a x.
• k môže byť 2 lebo takéto číslo má delitele 1, p a p^2=x.
• k​ nemôže byť 3 a viac lebo takéto číslo má určite delitele 1, p, p^2 a x, čo je príliš veľa deliteľov.

Došli sme teda k tomu, že n+1=p^2.​

Teraz si rýchlo otestujeme, či p​ nie je 2​, teda nie je párne:

n+1=p^2 = 4
​n=(n+1)-1=4 - 1 = 3
Tri má iba 2 delitele, takže tvrdenie, že n malo 4 delitele, sme nesplnili. To znamená že p nemôže byť 2 a teda p je nepárne.

Teraz si zapíšeme n pomocou p ako ​n=p^2 - 1. V tomto zápise si vieme číslo 1 interpretovať ako 1^2 a dostaneme rozdiel dvoch štvorcov p^2-1^2​. Na upravenie rozdielu dvoch štvorcov sa používa vzorec a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b), ktorého použitím si aj my upravíme náš zápis na n=(p+1)\cdot (p-1). To ale znamená že p+1 aj p-1 sú delitele čísla n. Pozrime sa teda na všetky delitele n.

Vieme že n je párne číslo, lebo sme dokázali, že p je nepárne, a kedže n=p^2-1 tak druhá mocnina nepárneho čísla bude nepárna, a teda číslo o 1 menšie od nej musí byť párne. Takže n bude mať medzi svojimi deliteľmi okrem 1 a n aj 2. Kedže ale 2 delí n tak aj tento podiel musí byť deliteľom n (lebo ak 2\cdot a=n  tak a delí n). To už máme ale 4 delitele z čoho vyplíva, že to sú všetky delitele n.​

O našom čísle n už vieme, že má delitele 1, 2, \frac{n}2 , n.Zároveň ale vieme, že má delitele p-1 a p+1, tieto čísla sú obe párne takže ani jedno nemôže byť 1. Taktiež, kedže p \gt 2​ tak p-1 \gt 1 a teda p+1=\frac{n}{p-1} \lt n, z čoho nám vyplýva, že p-1 a p+1 môžu už byť len 2  a \frac{n}2. To znamená že si môžme tieto čísla dosadiť do rovnosti:

​p-1=2, k obom stranám pripočítame 1​ a dostaneme p=3

p+1=\frac{n}2, obe strany vynásobíme 2 a dostaneme 2\cdot p +2=n , takže po dosadení p=3 dostaneme, že n=8.​​

Skontrolujeme si teraz či je toto riešenie správne, kedže sme celý čas robili ekvivalentné dôkazy tak sme určite dostali všetky správne riešenia. Číslo 8 má 4 delitele a to 1, 2, 4 a 8 takže prvé tvrdenie sme splnili, číslo 9 má 3 delitele a to 1, 3 a 9 takže aj druhé tvrdenie sme splnili.​

Odpoveď:

Účastníkov bolo počas cesty 8 a teraz ich je 9​​

Komentár

Príklad bol pre väčšinu z vás pomerne náročný, avšak veľa z vás to zvládlo. Veľmi odporúčam si zapamätať vzorec na rozdiel dvoch štvorcov, vyskytuje sa v rôznych úlohách často. Čo sa týka typu riešení, veľa z vás prišlo buď skúšaním alebo podobným postupom k správnej odpovedi, avšak treba si dávať pozor, aby ste odôvodnili, prečo je toto riešenie jediné správne.

Bodovanie

Body sme strhávali najmä za nedostatočné odôvodnenie či už počtu deliteľov, alebo faktu, že toto riešenie je jediné možné.

Pre lepšiu prehľadnosť označíme jednotlivé miesta bodmi. Stanica bude S, objazd bude O, chata C, rekonštrukcia R a obchod B. Podľa zadania máme situáciu ako na obrázku.

Našou úlohou je určiť dĺžku úsečky CO. Ako prvé si môžeme všimnúť, že keďže je trojuholník SRB pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole S, vieme z |SR| = 8 a |SB| = 10 dopočítať |RB|. Z Pytagorovej vety dostaneme |RB| = \sqrt{|SB|^2 - |SR|^2} = \sqrt{100 - 64} = 6.

Ako nám to však pomôže s úsečkou CO? Nám by sa hodil skôr pravouhlý trojuholník obsahujúci túto úsečku. Taký vieme získať, keď si dokreslíme výšku na stranu SC. Označme jej pätu A. Keďže \sphericalangle OAC je pravý, trojuholník OAC je pravouhlý s preponou OC. Hodilo by sa nám teda zistiť dĺžky zvyšných strán.

To spravíme ľahko. Všimnime si, že trojuholníky SRB a SAO sú pravouhlé. Navyše majú oba spoločný uhol pri vrchole S, takže sú podobné podľa vety uu. My navyše poznáme aj pomer podobnosti. Keďže |SB| = 10 a |SO| = 21, pomer bude 10:21. Teraz vieme dorátať aj zvyšné strany trojuholníka SAO zo strán trojuholníka SRB. Konkrétne |SA| = \frac{21}{10} \cdot|SR| = 2{,}1 \cdot 8 = 16{,}8 a |AO| = 2{,}1 \cdot |RB| = 2{,}1 \cdot 6 = 12{,}6.

Teraz sa môžeme vrátiť k trojuholníku OAC. Vieme už, že |AO| = 12{,}6. Druhú odvesnu si vieme dopočítať ako časť úsečky SC, konkrétne |AC| = |SC| - |SA| = 20 - 16{,}8 = 3{,}2. Využitím Pytagorovej vety na trojuholník OAC dostaneme |CO| = \sqrt{|AO|^2 + |AC|^2} = \sqrt{158{,}76 + 10{,}24} = \sqrt{169} = 13.

Odpoveď: Z objazdu k chate je to 13 kilometrov.

Tabuľka veľkosti 4 \times 4 je pomerne malá a dá sa s ňou pohrať. Navyše väčšinou je vynútený ťah alebo len zopár možností. Jedno z riešení ako sa dá prejsť celá tabuľka je nasledovné:

Tabuľka veľkosti 8 \times 8 už je moc veľká na to, aby sme náhodne dopĺňali poradie pohybov a dúfali, že nám to výjde. Tabuľka 8 \times 8 sa dá rozdeliť na štyri 4 \times 4 tabuľky. Jednu tabuľku 4 \times 4 sme už vytvorili, tak ju poďme aj využiť. Po jej prejdení skončíme na kraji tabuľky, konkrétne v pravom hornom rohu. Ak by sme tieto ťahy však robili postupne osovo súmerne podľa osi z ľahvého horného rohu do pravého dolného rohu, tak by sme skončili v ľavom dolnom rohu. Tabuľku 8 \times 8 vieme prejsť tak, že najskôr prejdeme tabuľku 4 \times 4 v ľavom hornom rohu a potom sa premiestnime o jedno políčko doprava, lebo sme končili diagonálnym pohybom. Znovu začíname v rohu 4 \times 4 tabuľky, avšak teraz ju prejdeme tak, aby sme skončili v jej ľavom dolnom rohu. Končili sme diagonálnym pohybom, takže sa môžeme posunúť o jedno políčko dole. Teraz sa znovu nachádzame v ľavom hornom rohu tabuľky 4 \times 4, takže ju vieme prejsť tak, že skončíme v jej ľavom dolnom rohu. Potom sa vieme posunúť o jedno políčko doľava a skončíme tak v pravom dolnom rohu poslednej tabuľky 4 \times 4. Keďže vieme prejsť celú tabuľku 4 \times 4 z ľavého horného rohu, tak ju vieme celú prejsť aj z pravého dolného rohu. To znamená, že vieme prejsť aj celú tabuľku 8 \times 8.

S tabuľkou 9 \times 9 už nebudeme mať také štastie, tú už celú neprejdeme. Máme 2 rohy tabuľky také, že susedia s rohom, v ktorom začíname. To znamená, že v aspoň jednom z týchto rohov nebudeme končiť, bez újmy na všeobecnosti, nech je to pravý horný roh. Na každom políčku okrem počiatočného a konečného sú oba druhy ťahov, pričom jedným typom sa naňho dostaneme a tým druhým z neho odídeme. Navyše začíname diagonálnym pohybom, takže políčka X, Y budú určite zabrané diagonálnym pohybom.

Môžeme si všimnúť, že na políčko Z sa už nemôžeme dostať, lebo žiaden diagonálny pohyb z neho nevedie na voľné políčko. Jediný prípad kedy by sme nepotrebovali použiť diagonálny pohyb na políčku Z by bol ak by sme končili na ňom. Potom sa však môžeme pozrieť na ľavý dolný roh a rovnakým argumentom by sme sa dostali do sporu, avšak teraz už nemôžeme povedať, že na sporom políčku budeme končiť. Tým sme ukázali, že exituje v tabuľke políčko, na ktoré sa nikdy nevieme dostať, takže ju nemôžeme celú prejsť podľa podmienok zo zadania.

Odpoveď:Pre n = 4 a n = 8 sa to chatárovi podarí, avšak pre n = 9 sa mu to už nepodarí.