8. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvé si môžeme zapísať zadanie viac matematicky. "n​ účastníkov sa dalo rozdeliť 4-ma spôsobmi do skupín" znamená, že číslo n má práve 4 rôzne delitele.  "jeden účastník pribudol a už sa to dá len 3 spôsobmi" znamená, že číslo n+1 má práve 3 rôzne delitele.

Pozrime sa teda na to, ktoré čísla majú práve 3 rôzne delitele:

Vieme, že každé číslo ​x​ väčšie ako 1 má aspoň 2 delitele a to 1 a x. Zároveň si ale môžme všimnúť, že ak má číslo x v prvočíselnom rozklade dve rôzne prvočísla tak tieto prvočísla budú ďaľšie dva delitele x, okrem vyššie ukázaných deliteľov 1 a x. To ale znamená že x bude mať už 4​ delitele, čo je priveľa. Takže x bude mať v prvočíselnom rozklade iba jedno unikátne prvočíslo. Z tohto nám vyplýva že x sa dá zapísať v tvare p^k.

Pozrime sa teda na to, čo môže byť:

• k​  nemôže byť 1​ lebo x=p^1=p​ a p​ má iba delitele 1 a x.
• k môže byť 2 lebo takéto číslo má delitele 1, p a p^2=x.
• k​ nemôže byť 3 a viac lebo takéto číslo má určite delitele 1, p, p^2 a x, čo je príliš veľa deliteľov.

Došli sme teda k tomu, že n+1=p^2.​

Teraz si rýchlo otestujeme, či p​ nie je 2​, teda nie je párne:

n+1=p^2 = 4
​n=(n+1)-1=4 - 1 = 3
Tri má iba 2 delitele, takže tvrdenie, že n malo 4 delitele, sme nesplnili. To znamená že p nemôže byť 2 a teda p je nepárne.

Teraz si zapíšeme n pomocou p ako ​n=p^2 - 1. V tomto zápise si vieme číslo 1 interpretovať ako 1^2 a dostaneme rozdiel dvoch štvorcov p^2-1^2​. Na upravenie rozdielu dvoch štvorcov sa používa vzorec a^2-b^2=(a+b)\cdot(a-b), ktorého použitím si aj my upravíme náš zápis na n=(p+1)\cdot (p-1). To ale znamená že p+1 aj p-1 sú delitele čísla n. Pozrime sa teda na všetky delitele n.

Vieme že n je párne číslo, lebo sme dokázali, že p je nepárne, a kedže n=p^2-1 tak druhá mocnina nepárneho čísla bude nepárna, a teda číslo o 1 menšie od nej musí byť párne. Takže n bude mať medzi svojimi deliteľmi okrem 1 a n aj 2. Kedže ale 2 delí n tak aj tento podiel musí byť deliteľom n (lebo ak 2\cdot a=n  tak a delí n). To už máme ale 4 delitele z čoho vyplíva, že to sú všetky delitele n.​

O našom čísle n už vieme, že má delitele 1, 2, \frac{n}2 , n.Zároveň ale vieme, že má delitele p-1 a p+1, tieto čísla sú obe párne takže ani jedno nemôže byť 1. Taktiež, kedže p \gt 2​ tak p-1 \gt 1 a teda p+1=\frac{n}{p-1} \lt n, z čoho nám vyplýva, že p-1 a p+1 môžu už byť len 2  a \frac{n}2. To znamená že si môžme tieto čísla dosadiť do rovnosti:

​p-1=2, k obom stranám pripočítame 1​ a dostaneme p=3

p+1=\frac{n}2, obe strany vynásobíme 2 a dostaneme 2\cdot p +2=n , takže po dosadení p=3 dostaneme, že n=8.​​

Skontrolujeme si teraz či je toto riešenie správne, kedže sme celý čas robili ekvivalentné dôkazy tak sme určite dostali všetky správne riešenia. Číslo 8 má 4 delitele a to 1, 2, 4 a 8 takže prvé tvrdenie sme splnili, číslo 9 má 3 delitele a to 1, 3 a 9 takže aj druhé tvrdenie sme splnili.​

Odpoveď:

Účastníkov bolo počas cesty 8 a teraz ich je 9​​

Komentár

Príklad bol pre väčšinu z vás pomerne náročný, avšak veľa z vás to zvládlo. Veľmi odporúčam si zapamätať vzorec na rozdiel dvoch štvorcov, vyskytuje sa v rôznych úlohách často. Čo sa týka typu riešení, veľa z vás prišlo buď skúšaním alebo podobným postupom k správnej odpovedi, avšak treba si dávať pozor, aby ste odôvodnili, prečo je toto riešenie jediné správne.

Bodovanie

Body sme strhávali najmä za nedostatočné odôvodnenie či už počtu deliteľov, alebo faktu, že toto riešenie je jediné možné.