5. príklad - Vzorové riešenie

Dôležitá vec, ktorú si na začiatok môžeme všimnúť je, že celkový počet hlasov sa mení podľa toho, koľko ľudí má a koľko nemá družinku (pre každého, čo nemá družinku je o jeden hlas viac).

V príklade nás zaujíma, že kedy je hlasovanie jednoznačné, takže sa pozrime najprv na to, hlasovanie je jednoznačné, keď sa v skupinke hlasy nevedia rozdeliť na dve polovice s rovnakým počtom hlasov. Napríklad sa nevedia rozdeliť keď je niekto sám, alebo je celkový počet hlasov v skupinke nepárny.

Teraz by bolo pekné vedúcich rozdeliť na 2 takéto skupinky. Toto by pekne vyšlo ak by sme pri párnom súčte hlasov odobrali jedného s nepárnym počtom a pri nepárnom počte jedného s párnym počtom hlasov, tieto prípady si teda môžeme rozobrať detailnejšie:

Keď je celkový počet hlasov párny, tak si uvedomíme, že musí existovať vedúci s jedným hlasom, lebo ak by neexistoval, tak každý vedúci by musel mať aspoň dva hlasy, teda keďže je celkovo 6​ vedúcich tak by muselo byť najmenej 12 hlasov a teda 12 družiniek, čo je v rozpore so zadaním. 

Potom vieme dať vedúceho s jedným hlasom do jednej skupinky. Keďže celkový počet hlasov je párny a do jednej skupinky sme dali vedúceho s nepárnym počtom hlasov, tak v druhej bude počet hlasov tiež nepárny a teda hlasovanie bude vždy rozhodné.

Keď je celkový počet hlasov nepárny, tak si uvedomíme, že musí existovať vedúci s párnym počtom hlasov, lebo ak by mal každý vedúci nepárny počet hlasov, tak keďže je ich 6​ tak by celkový počet hlasov bol párny (párny\ počet\ vedúcich \cdot nepárny\ počet\ hlasov\ každého = párny\ súčet), a to sme už vyššie vyriešili. 

Potom vieme dať vedúceho s párnym počtom hlasov samého do skupinky, a keďže celkový počet hlasov je nepárny, tak v druhej skupinke bude počet hlasov nepárny, a teda hlasovanie bude vždy rozhodné.

Odpoveď: 

Vieme vždy rozdeliť vedúcich do dvoch skupiniek, tak aby bolo vždy rozhodné hlasovanie v oboch skupinkách.