4. príklad - Vzorové riešenie

Zo zadania vieme, že čísla v každom riadku, stĺpci, aj uhlopriečke majú súčin 216​ . To znamená, že všetky čísla v tabuľke musia byť deliteľmi 216​ . Najlepší spôsob na nájdenie všetkých deliteľov je pomocou prvočíselného rozkladu čísla 216​​ , čo je 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot3=216​ . Z týchto čísel vieme potom postupne vyskladať všetky delitele čísla 216​ , a to 1 , 2 , 3 , 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 27, 36, 54, 72, 108, 216​. Každé z týchto čísel vzniklo nejakou kombináciou dvojok a trojok z prvočíselného rozkladu a okrem toho je na zozname ešte 1​ a 216​.

Týchto deliteľov je ale viac ako miest v tabuľke. Niektoré z nich teda nebudú vyhovovať riešeniu. Ako zistíme, že ktoré v tabuľke budú a ktoré nie? Ak sa pozrieme na jednotlivé miesta v tabuľke, vidíme, že každé sa nachádza práve v jednom riadku a jednom stĺpci. Preto musia pre každé číslo, ktoré bude v tabuľke, existovať aspoň dve trojice deliteľov 216​, ktorých súčin je 216​ (jedna pre riadok a druhá pre stĺpec). Číslo v rohu tabuľky leží naviac aj na jednej uhlopriečke, preto musí byť v troch trojiciach. No a číslo v strede tabuľky leží na oboch uhlopriečkach, preto bude až v 4​ trojiciach (pozri obrázok).

Vidíme teda, že na to, aby mohlo byť číslo v tabuľke, musí spĺňať nejakú podmienku - byť aspoň v dvoch trojiciach deliteľov, s ktorými bude v riadku a stĺpci, prípadne na uhlopriečkach. Pozrime sa v akých trojiciach sa nachádzajú najväčšie delitele čísla 216​:

Do ktorého políčka ho ale dáme? Vieme, že nemôže byť v rohových, keďže rohové číslo musí mať aspoň tri trojice. Preto bude v prvom riadku v strede. Ostáva nám umiestniť čísla 1, 2, 3, 6​. Aby sa nám lepšie opisovali kroky, je výhodné označiť si tieto políčka A, B, C​ a D​.

Ak sa budeme s tabuľkou chvíľku hrať a skúšať si tam dopĺňať aj ďalšie čísla, všimneme si, že akonáhle sa v jednom riadku, stĺpci alebo uhlopriečke nachádza 1​ spolu s 2​ alebo 3​, sme nútení doplniť jedno z čísel 108​ alebo 72​, ktoré sme si už ukázali, že v tabuľke byť nemôžu.

1​ bude preto na políčku D​, keďže to je jediný spôsob ako sa vyhneme číslam 72​ a 108​, potom číslo 6​ bude na políčku C​ a na políčkach A​ a B budú čísla 2​ a 3​ (A=2​ a B=3​ alebo A=3​ a B=2​ sú rovnaké možnosti, len zrkadlovo otočené, na to netreba zabudnúť).

Ďalej už do tabuľky bez problémov vieme doplniť ostatné políčka, keďže každé doplnenie je už jednoznačne dané. Vľavo dole bude 12​, vpravo dole bude 18​, v strede vľavo bude 9​ a v strede vpravo bude 4​. Takto máme už vyplnenú celú tabuľku.
Týmito dvoma spôsobmi sa dá tabuľka vyplniť tak, aby boli splnené podmienky zo zadania:

Alebo zrkadlovo prevrátené:

Iné riešenie

Ďalší spôsob ako pristupovať k príkladu je pozerať sa na tabuľku ako na sadu neznámych čísel, ktoré si opäť môžeme označiť písmenkami. Keďže zo zadania vieme, že súčin v každom riadku, stĺpci aj uhlopriečke je 216​, hneď nám napadne si z toho vytvoriť rovnice. Tak ako v tomto prípade, väčšinou sa oplatí pozrieť sa na tie rovnice, kde sa najviac opakuje jedno písmenko, v tomto prípade E​ (sú až štyri.).

​B \cdot\ E \cdot\ H = 216​​
​D \cdot\ E \cdot\ F = 216​​
​A \cdot\ E \cdot\ I = 216​​
​C \cdot\ E \cdot\ G = 216​​

Teraz sa budeme snažiť rovnice zjednodušiť, aby sme z nich vedeli niečo vyčítať. Preto medzi sebou vynásobíme ľavé strany a pravé strany. Vyjde nám nasledovná rovnica:
​(B \cdot\ E \cdot\ H)(D \cdot\ E \cdot\ F)(A \cdot\ E \cdot\ I)(C \cdot\ E \cdot\ G) = 216 \cdot\ 216 \cdot\ 216 \cdot\ 216​​

Keďže ide o násobenie, môžeme si zátvorky odmyslieť a písmenká preusporiadať nasledovne:
(A \cdot\ D \cdot\ G)(C \cdot\ F \cdot\ I)(B \cdot\ E \cdot\ H)(E \cdot\ E \cdot\ E) = 216 \cdot\ 216 \cdot\ 216 \cdot\ 216​​

Za prvé tri zátvorky dosadíme 216, keďže ide o stĺpce z tabuľky a vykrátia sa nám:
​216 \cdot\ 216 \cdot\ 216 \cdot\ (E \cdot\ E \cdot\ E) = 216 \cdot\ 216 \cdot\ 216 \cdot\ 216 / : (216 \cdot 216 \cdot 216)​​
​(E \cdot E \cdot E)=216​
Kedže vieme že E je reálne kladné číslo tak môžeme z oboch strán spraviť 3. odmocninu a dostaneme​
​E=6​​

Z týchto úprav sme zistili, že v strednom políčku bude určite 6​.
Teraz sa pokúsime zistiť najväčšie číslo, ktoré vieme dať do prvého riadku.
Keď už vieme presnú hodnotu E​, dosadíme si E=6​ do predošlých rovníc. Z toho nám výjdu tieto rovnice:
​A \cdot\ 6 \cdot\ I = 216 / :6​​
A \cdot\ I = 36

B \cdot\ 6 \cdot\ H=216 / :6​
B \cdot\ H=36

​C \cdot\ 6 \cdot\ D=216 / :6
C \cdot\ D = 36​

Teraz sa pozrieme na to, čo nám z týchto rovníc vyplýva. Vieme zistiť, že políčka A,I,B,H,C,D​ sú menšie rovné 36​. (Ak by bolo niektoré políčko väčšie, určite by aspoň jeden zo súčinov A\cdot I​, B \cdot H​ a C\cdot D​ bol väčší ako 36​.)
Preto medzi políčkami A, B, C​ (tie sú v prvom riadku) bude najviac 36​. Poďme s ním vyskúšať doplniť celú tabuľku. Ak nám to vyjde, máme určite správne riešenie a splnené podmienky zo zadania.

Vieme, že 36​ je deliteľom 216​, lebo v predošlých krokoch sme si už ukázali, že 6x36=216. Prvočíselný rozklad 6​ je 2 \cdot3​. Preto vieme, že jediné dve trojice, ktorých súčin je 216​ a obsahujú 36​ sú: 1\cdot6\cdot36​ a 2\cdot3\cdot36​.
Teraz zistíme, kde sa môže 36​ nachádzať. 36​ nemôže byť v rohovom políčku, pretože je súčasťou len dvoch trojíc. Na to, aby mohla byť v rohovom, musí byť súčasťou aspoň troch, v riadku, stĺpci aj uhlopriečke. Tým pádom musí byť v strednom. To znamená, že B=36​.

Ďalej už do tabuľky bez problémov vieme doplniť ostatné čísla tak, ako v predošlom riešení.