Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Počet účastníkov nazveme ish palindróm ak keď k nemu pripíšeme na začiatok nejakú číslicu (inú ako 0), vieme dostať palindróm, a keď k pôvodnému číslu pripíšeme nejakú číslicu na koniec, tiež vieme dostať palindróm. Koľko je 9-ciferných ish palindrómov? Koľko ich je 10-ciferných?
Poznámka: Palindróm je také číslo, ktoré vyzerá rovnako spredu aj odzadu, napríklad 12321.Vzorové riešenie
Označme si naše hľadané 9 -ciferné číslo \overline{ABCDEFGHI}. Toto číslo je ish palindrómom, ak po pridaní číslice X na jeho začiatok, je číslo \overline{XABCDEFGHI} palindróm a zároveň po pridaní potenciálne inej číslice Y na jeho koniec je číslo \overline{ABCDEFGHIY} tiež palindrómom, teda číslom, ktoré sa číta rovnako odpredu aj odzadu. Teraz si spojíme číslice, ktoré musia byť rovnaké, aby bolo číslo \overline{XABCDEFGHI} palindróm.
Teda musí platiť, že X = I, A = H, B = G, C = F, D = E.
Ďalej spojíme číslice tak, aby bolo číslo \overline{ABCDEFGHIY} tiež palindrómom.
Teda musí platiť, že A=Y, B=I, C=H, D=G, E=F.
Vidíme, že X sa rovná číslici I, I sa rovná číslici B a tá je zas rovnaká ako číslica G … Preto všetky číslice musia byť rovnaké, a teda platí:
X=I=B=G=D=E=F=C=H=A=Y
Výsledný ish palindróm teda bude vyzerať nasledovne:
\overline{AAAAAAAAA}
A nemôže byť 0 keďže 9-ciferné číslo nemôže začínať 0, a teda máme 9 možností 9-ciferných ish palindrómov nakoľko máme 9 možností pre A:
111111111, 222222222, \dots,999999999
Podobne vieme postupovať aj pri 10-cifernom ish palindróme. Označíme si ho \overline{ABCDEFGHIJ}.
Po pridaní X na začiatok musí byť číslo \overline{XABCDEFGHIJ} palindróm.
Teda musí platiť, že X = J, A = I, B = H, C = G, D = F
Vieme, že náš ish palindróm bude palindróm aj keď pridáme číslo Y na jeho koniec. Potom získame ďalšie dvojice číslic, ktoré sa musia rovnať, aby sme získali palindróm:
Teda musí platiť, že A = Y, B = J, C = I, D = H, E = G
Čiarami sme spojili všetky čísla ktoré budú rovnaké. Môžeme si všimnúť, že pri 10 cifernom ish palindróme sa nám nespojili všetky čísla, ale len každé druhé. Vďaka tomu vidíme, že:
X=J=B=H=D=F a Y=A=I=C=G=E
Výsledný ish palindróm potom vyzerá takto:
\overline{ABABABABAB}
Cifra A nemôže byť 0, lebo inak by číslo nebolo 10-ciferné. No ani cifra B nemôže byť 0, lebo keby bola nula, tak A bude určite rôzne od B, teda pôvodné číslo nebude palindróm a taktiež po pridaní cifry 0 na začiatok sa číslo nezmení, teda to stále nebude palindróm. Napríklad číslo 1010101010 nie je ish palindróm, lebo by sme dostali číslo 01010101010 a to by začínalo 0, čo nie je možné.
Dokopy máme teda 9 možných cifier na miesto cifry A a 9 na miesto cifry B. Pre každú jednu cifru A máme teda 9 možností pre cifru B a keďže je 9 možných cifier A, tak dokopy existuje 9\cdot9=81 možností pre 10-ciferný ish palindróm:
1111111111, 1212121212, 1313131313,........,9999999999
Odpoveď:
99-ciferných ish plaindrómov je 9999999
10-ciferných ish plaindrómov je 81