8. príklad - Vzorové riešenie

Podúloha a:

Pri tejto podúlohe vidíme, že nám netreba nájsť len 1 príklad umiestnenia 2 žiaroviek, ktoré neosvetlia celú miestnosť. Z toho nemôžeme usúdiť, že akékoľvek iné umiestnenie taktiež neosvetlí miestnosť. Vieme ale zadanie zjednodušiť tak, aby sa dalo dokázať príkladom.

Zamyslíme sa nad týmto tvrdením: "existuje trojica bodov taká, že ich nevieme osvetliť 2 žiarovkami". Toto tvrdenie je o dosť jednoduchšie dokázať, stačí len dobre zvoliť 3 body a ukázať prečo ich nevieme osvetliť 2 žiarovkami.

Označme si v miestnosti všetky dôležité body (viď obrázok). Pozrime sa na body X a Y. Teraz sa môžeme zamyslieť nad tým, z kadiaľ ich vieme osvedliť. Všimnime si, že bod Y je v rohu, takže všetky lúče, ktoré doňho môžu ísť, smerujú doprava, hore alebo niečo medzi (viď obrázok). Takisto, bod X je v rohu a všetky lúče smerujú doľava, dole, alebo niečo medzi (viď obrázok). Modrou vyfarbíme všetky miesta, kde vieme dať žiarovku tak, aby bol bod Y osvetlený a zelenou všetky miesta, kde vieme dať žiarovku tak, aby bol bod X osvetlený. Všimnime si, že na modro je vyfarbená celá úsečka OY, to je kvôli tomu, že lúč môže ísť po hrane.

Teraz skúsme nájsť bod, ktorý nevieme osvetliť ani z modrej, ani zo zelenej zóny. Pozrime sa na úsečkuMN, pretože tá vyzerá ako miesto, kde sa môže takýto bod nachádzať. Je celkom zrejmé, že z modrej zóny vieme osvetliť len bod M, ak by sme chceli osvetliť ostatné body, museli by sme prejsť cez stenu.

Teraz sa pozrieme, ktoré body z MN vieme osvetliť zo zelenej zóny. Predstavme si, že máme žiarovku niekde v zelenej zóne tak, aby z nej išiel lúč cez bod L a dopadne niekde na priamke MN (tento bod nazvyme G) ako na obrázku. Môžeme potom usúdiť, že všetky body na úsečke GN budú osvetlené. Chceme aby mala GN čo najväčšiu dĺžku, to znamená že chceme aby uhol medzi lúčom a LN bol čo najväčší (viď obrázok). Je celkom zrejmé, že najväčší uhol dostaneme tak, že žiarovku umiestnime do bodu B.

Dlžku GN zistíme pomocou podobnosti trojuholníkov. Všimnime si, že trojuhoľníky GNL a LKB sú podobné, tým že oba sú pravouhlé a prislúchajúce uhly (GLN a LBK) majú rovnakú veľkosť (GLN a LBK sú súhlasné uhly). To znamená, že pomery prislúchajúcich strán budú rovnake. Strana NL má dĺžku 1 a strana KB má dĺžku 3. Z tohto vidíme, že strana LK bude mať 3-krát väčšiu veľkosť ako strana GN. LK má veľkosť 2, to znamená že GN má veľkosť \frac{2}{3}.

Teraz si všimnime, že sa bod G určite nachádza v úsečke MN, tým že null a to znamená, že medzi bodmi M a G nebude ani jeden osvetlený bod. To znamená, že existuje bod, ktorý nevieme osvetliť z modrej, ani zo zelenej zóny. A to znamená, že existuju 3 body také, že ich nevieme osvetliť iba 2 žiarovkami (napríklad body X,Y,Z), tým pádom sa celá miestnosť nedá osvetliť 2 žiarovkami

Podúloha b. 

Táto podúloha je výrazne ľahšia, stačí nám len nájsť umiestnenie 3 žiaroviek a ukázať, že osvetlí celú miestnosť.

Zoberme si napríklad body C a A a umiestnime do nich žiarovku. Žiarovka v bode C určite rozosvieti na modro vyfarbenú zónu (dostane sa aj k bodu Y, pretože lúč môže ísť po stene). V skutočnosti táto žiarovka toho osvetlí aj nejaku časť z obdĺžnika JLNM, ale tieto časti osvetlí tretia žiarovka, takže sa nimi nemusíme zaoberať. A žiarovka v bode A určite osvetlí všetky zelené zóny. Zostáva nám už len spomínaný obdĺžnik JLNM, do ktorého môžeme kamkoľvek umiestniť žiarovku, napr. do bodu J (časti osvetlené z J som vyfarbil na červeno). A tým pádom máme hotovo! Našli sme vhodné umiestnenie žiaroviek (body C,A,J) a ukázali sme, že skutočne osvetlia celú miestnosť.