5. príklad - Vzorové riešenie

Nazvime si naše čísla tak, aby boli zoradené od najmenšieho: a \lt b \lt c \lt d \lt e.

Vieme, že najmenší súčet musel vzniknúť ako a+b. Druhý najmenší musel byť a+c lebo b+c, a+d a aj všetky súčty obsahujúce e vieme zmenšiť keď jeden zo sčítancov zmeníme za menší. Máme teda:

​(1)\space\space\space a+b=0

(2)\space\space\space a+c=2​​​

 Podobne poznáme najväčší a druhý najväčší súčet.

(3)\space\space\space d+e=15

(4)\space\space\space c+e=13 ​​​

Keď poznáme tieto súčty, vedeli by sme napríklad vypočítať hodnotu c, ak by sme poznali celkový súčet všetkých piatich čísel. Ale ten zistiť vieme! Všetkých 10 súčtov dáva dokopy 0+2+4+4+6+8+9+11+13+15=72, a každé číslo sa nachádza v štyroch súčtoch (z každým iným číslom raz). Teda 72=4\cdot a+4\cdot b+4\cdot c+4\cdot d+4\cdot e, po vydelení štyrmi a+b+c+d+e=18. Teraz môžeme odčítať rovnice (1) a (2). Teda a+b a d+e z jednej strany, a ich súčty 0 a 15 z druhej. Ostane nám c = 3.

Po dosadení tejto hodnoty do rovníc (2) a (4) dostávame:

(2)\space\space\space a+3=2\implies a=-1

(4)\space\space\space e+3=13\implies e=10

a môžeme ďalej dosádzať:

(1)\space\space\space -1+b=0\implies b=1

(3)\space\space\space d+10=15\implies d=5​​​​

Teraz už poznáme všetkých päť čísel, a vieme že žiadne iné by nemohli sedieť. Ostáva nám teda už len presvedčiť sa, že je to správne riešenie, a naozaj dostaneme zadané súčty: