Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Na počiatku bolo číslo 2. Hráč na ťahu môže pripočítať k číslu ľubovoľné kladné celé číslo menšie ako aktuálne číslo. Edison a Tesla sa striedajú v ťahoch. Hru začína hrať Nikola Tesla. Hráč, ktorý napíše číslo 1887 vyhráva. Kto má víťaznú stratégiu?

Poznámka: Víťazná stratégia znamená, že hráč podľa nej dokáže vyhrať bez ohľadu na to, ako hrá jeho súper. .

Vzorové riešenie

Opravovali: Matuspokorny, Oliver

Pozrime sa na túto úlohu od konca. Keď má hráč pred svojím ťahom napísané číslo, z ktorého sa vie dostať na 1887, pridá číslo, ktorým sa dostane na 1887 a vyhráva. 

944 je prvé také číslo, lebo 944+943=1887. Číslo 943 je ešte málo, lebo z 943 sa vieme dostať maximálne na 943+942=1885. Môžme si všimnúť, že 943 sa dá dostať len na čísla od 944  do 1885 (943+1  až 943+942) , teda len čísla, z ktorých sa dá vyhrať. Z toho vyplíva, že ten, kto má teda pred svojím ťahom 943​ prehral.

Teraz zopakujeme ten istý postup, len s tým, že sa nepotrebujeme dostať na číslo 1887, ale len na číslo 943, lebo sme ukázali, že ak sa dostaneme na 943, už sa vieme zaručene dostať aj na 1887.​

472 je prvé číslo, z ktorého sa dá dostať na 943, lebo 472+471=943. Číslo 471 je ešte málo, lebo 471+470=941. Zo 471 sa dá teda dostať len na čísla 472 až 941, teda len na čísla, z ktorých sa dostaneme na 943 a odtiaľ už vyhrať vieme.

Teraz máme znovu rovnakú úlohu, len sa nám stačí vedieť dostať na 471 a potom už vyhrať vieme.

Tento postup ešte niekoľkokrát zopakujeme a dostaneme sa k tomu, že sa postupne potrebujeme dostať na čísla 3,7,14,29,58,117,235,471,943 a potom vyhráme napísaním 1887

Zo žiadneho z týchto čísel sa súper nevie dostať na nasledujúce, alebo vyššie, lebo nasledujúce číslo je aspoň dvakrát väčšie, než predchádzajúce a druhý hráč vie pripočítať maximálne číslo o 1 menšie, než terajšie číslo, teda jedným ťahom nevie číslo zdvojnásobiť.

Taktiež ku každému číslu musí súper vždy prirátať aspoň 1 a potom sa vieme dostať na nasledujúce číslo(4+3=7, 8+6=14,15+14=29,30+28=58,59+58=117,118+117=235,236+235=471,472+471=943,944+943=1887)

Týmto sme dokázali, že výhernú stratégiu má hráč, ktorý napíše číslo 3, lebo potom vie napísať na nasledujúci ťah vždy nasledujúce číslo v rade a teda aj 1887.

Keďže začína Tesla a na papieri je napísané číslo 2, vie prirátať 1 a zvýšiť číslo na 3 a potom už len navyšuje vždy na nasledujúce číslo v rade a tak napíše 1887 a vyhrá.​

Odpoveď:

Víťaznú stratégiu má prvý hráč, čiže Tesla.