Adventný Logboj - Adventný Logboj je individuálna súťaž v riešení logických úloh, v ktorej môžu súťažiť základoškoláci, stredoškoláci aj starší. Na stránke súťaže bude každý decembrový deň až do vianoc sprístupnená jedna úloha, … Prejsť na článok
×8. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Traja kamaráti Macker, Merlin a Danko majú každý svoje obľúbené prirodzené číslo. Vieme, že obľúbené číslo Mackera je najväčší spoločný deliteľ obľúbených čísel zvyšných dvoch, a že obľúbené číslo Merlina z nich je aritmetický priemer obľúbených čísel zvyšných dvoch. Taktiež vieme, že súčin ich obľúbených čísel je 78750. Aké sú ich obľúbené čísla? Nájdite všetky možnosti.
Vzorové riešenie
Označme postupne Mackerovo, Dankovo a Merlinovo číslo zo zadania ako a,b,c. Zo zadania ďalej dostávame nasledovné vzťahy, kde NSD značí najväčšieho spoločného deliteľa:
a=NSD(b,c),\\ b=\dfrac{a+c}{2},\\ a \cdot b \cdot c = 78750= 2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7.
Keďže a je spoločným deliteľom čísel b,c znamená to, že b,c sú násobkami a, a tak si ich vieme napísať ako b=aB, c=aC, kde B,C sú nejaké nesúdeliteľné prirodzené čísla. Pomocou tohto vyjadrenia môžeme prepísať našu poslednú rovnicu ako:
a \cdot b \cdot c=a \cdot (aB) \cdot (aC)=a^3 \cdot B \cdot C=2 \cdot 3^2 \cdot 5^4 \cdot 7.
Všimnime si, že číslo a sa v súčine na ľavej strane nachádza trikrát. Zároveň, jediné prirodzené čísla, ktoré sa nachádzajú v provčíselnom rozklade na pravej strane trikrát sú čísla 1 a 5. Číslo 1 síce do rozkladu nepíšeme, avšak môžeme o ňom uvažovať ako keby bolo použité ľubovoľne veľa krát). Z toho plynie, že číslo a môže byť iba 1 alebo 5.
V prípade a=1 z rovnice b=(a+c):2 plynie, že b=(c+1):2.. Dosaďme teraz tento výraz pre b do a \cdot b \cdot c= 78750:
a \cdot b \cdot c=a \cdot \dfrac{c+1}{2} \cdot c = 78750.
Keďže a=1 platí:
\frac{c+1}{2} \cdot c = 78750.
Vynásobíme obe strany dvoma:
(c+1) \cdot c=157500
Hľadáme preto dva činitele, ktoré sa líšia o 1, a ktorých súčin je 157500. Všimnime si teraz, že ak násobíme dve čísla, ktoré sú obe menšie ako \sqrt{157500}, tak ich súčin bude menší ako 157500. Rovnako, ak násobíme dve čísla, ktoré sú obe väčšie ako \sqrt{157500}, tak ich súčin bude väčší ako 157500. Z toho plynie, že jeden z činiteľov musí byť väčší ako \sqrt{157500} a druhý bude menší. Hľadáme tak dve posebe idúce celé čísla, z ktorých jedno je menej ako \sqrt{157500} a druhé väčšie. Keďže \sqrt{157500} \approx 396{,}86, tak jediné také čísla sú 396, 397, a teda jediné c, ktoré pripadá do úvahy je c=396. Vidíme však, že:
396 \cdot 397=157212 \neq 157500,
preto v tomto prípade nedostávame riešenie.
Prejdime na prípad a=5. Potom b=5B, c=5C. Dosadením do b=(c+1):2 dostávame:
5B=\dfrac{5+5C}{2},
odkiaľ po vydelení 5:
B=\dfrac{1+C}{2}.
Dosadením tohto výrazu pre B do a \cdot b \cdot c= 78750 dostávame:
a \cdot b \cdot c=5 \cdot 5B \cdot 5C=5^3 \cdot \dfrac{1+C}{2} \cdot C=78750.
Vydelíme 5^3=125:
\dfrac{1+C}{2} \cdot C=630,
odkiaľ po vynásobení 2
(1+C) \cdot C=1260.
Všimnime si teda, že opäť hľadáme dva celočíselné činitele vzdialené o 1, ktorých súčin je 1260. Rovnakým argumentom ako v prípade a=1, ak existuje riešenie tak jeden činiteľ musí byť väčší ako \sqrt{1260} a jeden menší. Keďže \sqrt{1260} \approx 35{,}5, tak jediné čísla, ktoré tomuto môžu vyhovovať sú 35, 36. Skutočne, súčin týchto čísel je 1260, z čoho dostávame riešenie C=35 a teda c=5C=175. Následne b=(5+c):2=180:2=90. Skúškou sa presvedčíme, že trojica 5, 90, 175 podmienkam zadania skutočne vyhovuje.
Odpoveď: Hľadané obľúbené čísla sú postupne 5, 90, 175.
Iné riešenie (kvadratická rovnica)
Podobne ako v prvom riešení zistíme, že a môže byť buď 1 alebo 5. Opäť riešime dva prípady a=1, a=5.
V prípade a=1 sa analogicky k predchádzajúcemu riešeniu dostaneme k rovnici (1+c) \cdot c=157500, ktorú ďalej upravíme na:
c^2+c-157500=0.
Vidíme, že sme dostali kvadratickú rovnicu. Použitím vzorca na výpočet kvadratickej rovnice dostávame pre jej korene nasledovný vzťah:
c=\dfrac{-1 \pm \sqrt{1+4 \cdot 157500}}{2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{630001}}{2}.
Môžeme si všimnúť, že 630001 nie je druhá mocnina, preto obe riešenia budú iracionálne. Pre prípad a=1 nedostávame žiadne riešenie.
Prejdime na prípad a=5. Z rovnice b=(1+c):2 plynie:
b=\dfrac{5+c}{2}.
Dosadením tohto vyjadrenia za b do rovnice a \cdot b \cdot c= 78750 dostávame:
a \cdot b \cdot c= 5 \cdot \dfrac{1+c}{2} \cdot c=78750,\\ c^2+5c-31500=0.
Vidíme, že sme dostali kvadratickú rovnicu. Použitím vzorca na výpočet kvadratickej rovnice dostávame pre jej korene nasledovný vzťah:
c=\dfrac{-5 \pm \sqrt{25+4 \cdot 31500}}{2}=\dfrac{-5 \pm 355}{2}
Vidíme tak, že možné korene sú c=175, a c=-180. Teda jediné prirodzené riešenie je c=175, z čoho už dopočítame b=90 ako predtým.
Odpoveď: Hľadané obľúbené čísla sú postupne 5, 90, 175.
Komentár
Väčšina z vás si správne uvedomila kľúčový poznatok, že Mackerovo číslo sa v rozklade 78750 musí nachádzať trikrát, avšak mnohí prehliadli, že aj číslo 1 vyhovuje tejto požiadavke ako špeciálny prípad. Niektorí riešitelia riešili úlohu skúšaním možností, čo je trochu zdĺhavé. Pri takomto skúšaní si treba dať pozor aby boli vypísané skutočne všetky možnosti, alebo aspoň popísať presný postup skúšania. Ďalší riešitelia, podobne ako vzorové riešenie, použili odhady s odmocninou. Boli aj takí, ktorí úlohu riešili kvadratickou rovnicou, ktorú možno veľa z vás nepozná (viac sa o nej môžete dočítať na https://sk.wikipedia.org/wiki/Kvadratick%C3%A1_rovnica).