Anketa - Ahoj Rieškar, stalo sa ti niekedy, že si nerozumel zadaniam? Chcel by si v lete prísť na denný tábor? Sú nejaké akcie, ktoré by si chcel, aby sme robili častejšie? … Prejsť na článok
×5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Pri jazere je dvanásť traktorov štyroch značiek. Z každej značky tam je malý, stredný a veľký traktor. Chcú sa rozdeliť do dvoch tímov po šesť tak, aby v každom tíme bol aspoň jeden traktor z každej značky. Koľko rôznych rozdelení na tímy existuje?
Vzorové riešenie
Kľúčové pozorovanie pri riešení tejto úlohy je, že ak vieme rozloženie jedného tímu, vieme aj rozloženie druhého. To znamená, že nám stačí vypočítať počet možností na vybratie jedného tímu. Nesmieme však tento počet zabudnúť vydeliť dvomi, keďže pre každý tím existuje práve jeden tím, ktorý má presne zvyšné traktory, a ten sa bude tiež nachádzať medzi všetkými možnosťami.
Ako musí tím vyzerať? Musí mať v sebe traktor každej značky čo znamená, že 4 zo 6 traktorov musia mať rôzne značky. To vieme vyriešiť tak, že prvé štyri traktory budú rôznych značiek. Zvyšné dva nemôžu mať rovnakú značku, lebo to by znamenalo, že v druhom tíme by takýto traktor tejto značky nebol.
Keďže z každej značky existujú práve 3 veľkosti traktorov a 4 značky tak mám na vybratie prvých štyroch traktorov v tíme presne 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^4 = 81 možností. Teraz už len zistiť ako môžu vyzerať zvyšné dvojice traktorov. Počet možností, ktoré dvojice značiek traktorov môžu byť zvyšné dva traktory je \frac{4 \cdot 3}{2} = 6, keďže najskôr vyberieme jednu značku zo štyroch a následne máme už len tri z ktorých môžeme vyberať (vydelíme to dvoma lebo ak vyberieme najskôr značku A a potom značku B, je to to isté akoby sme vybrali značku B a potom značku A). Keď už máme vybrané značky tak z každej nám ostali už len po dva traktory čiže počet možností musíme vynásobiť 2 \cdot 2 = 4.
Nesmieme však zabudnúť na to, že keďže máme medzi možnosťami dve dvojice traktorov rovnakej značky, tak sa nám budú niektoré možnosti opakovať, lebo nezáleží na poradí traktorov v tíme (ak by sme medzi štyrmi prvými traktormi vybrali traktor A_1 a medzi zvyšnými dvoma vybrali traktor A_2 rovnakej značky ako A_1, tak je to tá istá možnosť akoby sme vybrali medzi prvými štyrmi traktor A_2 a medzi zvyšnými dvoma traktor A_1). Keďže máme takto až 2 značky v ktorých sa traktory opakujú musíme preto celkový počet možností vydeliť 2 \cdot 2 = 4.
Odpoveď: Celkovo teda dostávame, že máme \frac{81 \cdot 6 \cdot 4}{2 \cdot 4}=243 možností, ako rozdeliť traktory do dvoch tímov.