2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Obsah obdĺžnika DRAK je 44, obsah obdĺžnika DEVY je 64 a obsah šesťuholníka DEVLAK je 92. Dĺžky všetkých strán sú celé čísla. Určte dĺžky strán šesťuholníka DEVLAK. Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo už ďalšie nie sú.
Vzorové riešenie
Najprv si vyjadrime obsahy obdĺžnikov YLAK, REVL a DRLY. Vidíme, že náš šesťuholník DEVLAK je úsečkou LY rozdelený na obdĺžnik DEVY a obdĺžnik YLAK. Preto S_{YLAK}=S_{DEVLAK}-S_{DEVY}=92-64=28. Podobne úsečka RL rozdeľuje náš šesťuholník na obdĺžnik DRAK a REVL. Preto S_{REVL}=S_{DEVLAK}-S_{DRAK}=92-44=48. Potom S_{DRLY} musí byť rovné S_{DRAK}-S_{YLAK}=44-28=16. Ešte musíme skontrolovať, či S_{DEVY} má požadovaný obsah 64. Vidíme, že má, lebo S_{DEVY}=S_{DRLY}+S_{REVL}=16+48 čo je naozaj 64.
Teraz si všimnime, že |DR|=|YL|=|AK|, |YD|=|LR|=|EV|, |RE|=|VL| a taktiež |KY|=|LA|. Potom dĺžky všetkých týchto úsečiek musia byť celé čísla, lebo dĺžky strán nášho šesťuholníka sú celočíselné.
Obsah obdĺžnika vieme vypočítať ako súčin jeho dvoch susediacich strán. Preto musí platiť, že S_{YLAK}=|YL|\cdot|LA|=28 a S_{DRLY}=|YL|\cdot|YD|=16. Z toho vyplýva, že dĺžka strany YL musí byť spoločný deliteľ 28 a 16. Takéto delitele sú len 1, 2 a 4, pretože prvočíselný rozklad 28 je 2\cdot2\cdot7 a 16 je 2\cdot2\cdot2\cdot2. Rozoberme si postupne všetky možnosti:
Ak |YL|=1, potom
|LA|= S_{YLAK}:|YL|=28:1=28,\\ |YD|=S_{DRLY}:|YL|=16:1=16.
Vieme, že S_{REVL}=|EV|\cdot|VL| a |EV|=|YD|=16. Preto |VL|=S_{REVL}:|YD|=48:16=3. Konečne vieme vyjadriť dĺžky strán nášho šesťuholníka:
|DE|=|DR|+|RE|=|YL|+|VL|=1+3=4\\ |EV|=16,\\ |VL|=3,\\ |LA|=28,\\ |AK|=|YL|=1,\\ |KD|=|KY|+|YD|=|LA|+|YD|=28+16=44.
Ak |YL|=2, potom
|LA|= S_{YLAK}:|YL|=28:2=14,\\ |YD|=S_{DRLY}:|YL|=16:2=8.
Zase platí, že |VL|=S_{REVL}:|YD|=48:8=6. Dĺžky strán nášho šesťuholníka sú teda:
|DE|=2+6=8,\\ |EV|=8,\\ |VL|=6,\\ |LA|=14,\\ |AK|=2,\\ |KD|=14+8=22.
Nakoniec, ak |YL|=4, potom
|LA|= S_{YLAK}:|YL|=28:4=7,\\ |YD|=S_{DRLY}:|YL|=16:4=4.
Potom |VL|=S_{REVL}:|YD|=48:4=12. Dĺžky strán nášho šesťuholníka sú teda:
|DE|=4+12=16,\\ |EV|=4,\\ |VL|=12,\\ |LA|=7,\\ |AK|=4,\\ |KD|=7+4=11.
Odpoveď: Náš šesťuholník má strany |DE|, |EV|, |VL|, |LA|, |AK|, |KD| dlhé postupne: 4,16,3,28,1,44, 8, 8, 6, 14, 2, 22 alebo 16, 4, 12, 7, 4, 11.
Komentár
Väčšina z vás prišla k správnemu riešeniu. Najčastejšou chybou bolo, že ste neprešetrili naozaj všetky možnosti alebo nedostatočne popísali váš postup. Vždy je dôležité všetko riadne dokázať a vysvetliť. Tiež by sme chceli upozorniť na to, aby ste si radšej vždy viackrát skontrolovali, či odpovedáte na správnu otázku. Veľa z vás totiž vypočítalo dĺžky úsekov, ale už nedopočítali dĺžky celých strán.