Kategórie:
5

Zadanie

Cena nafty, ktorú natankovala prostredná stíhačka, je dvojciferné číslo, pre ktoré platí, že ak na jeho začiatok pripíšeme číslicu 7, dostaneme dvakrát také veľké číslo, ako keby sme na koniec pôvodného čísla pripísali číslicu 8. Aké je toto číslo? Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo už ďalšie nie sú.

Vzorové riešenie

Opravovali: Oliver, Pajty, mati

Dvojcifernú cenu nafty, ktorú natankovala prostredná stíhačka si môžeme zapísať vo forme desiatok a jednotiek ako 10 \cdot a + b​, kde a \text{ a } b​ sú jednociferné čísla, pričom a​ sa nerovná 0​ (lebo by nám nevzniklo dvojciferné číslo). a je číslo na mieste desiatok (preto je násobené 10​) a b na mieste jednotiek, napr. ak by sme chceli zapísať číslo 97​ takýmto spôsobom, tak to bude vyzerať ako 10 \cdot 9 + 7​.

Takýmto spôsobom si zapíšeme aj číslo, ktoré vznikne keď pred pôvodné číslo pripíšeme číslicu 7​ a číslo, ktoré vznikne, keď za pôvodné číslo pripíšeme číslicu 8​. Keď pripíšeme pred pôvodné číslo číslicu 7​, tak číslice na miestach jednotiek a desiatok sa nezmenia, iba k nim pripočítame 100 \cdot 7​. Výsledné číslo teda bude vyzerať nasledovne: 100 \cdot 7 + 10 \cdot a + b​. Keď za pôvodné číslo pripíšeme číslicu 8​, číslica, ktorú máme označenú ako a​ na mieste desiatok sa posunie na miesto stoviek a číslica označená b​ na mieste jednotiek sa posunie na miesto desiatok. Na miesto jednotiek nám príde číslica 8​ a výsledné číslo bude teda vyzerať: 100 \cdot a + 10 \cdot b + 8​.

Ak má byť prvé vytvorené číslo 2​-krát väčšie ako druhé vytvorené číslo, tak prvé číslo sa rovná dvojnásobku druhého čísla. To si zapíšeme takto:

100 \cdot 7 + 10 \cdot a + b = 2 \cdot (100 \cdot a + 10 \cdot b + 8).​

Zátvorku si roznásobíme:

100 \cdot 7 + 10 \cdot a + b = 200 \cdot a + 20 \cdot b + 16.​​

Z tohoto zápisu nám vyplýva, že b​ sa musí rovnať 6​. Výsledok násobenia 200​ s hocijakým jednociferným číslom bude mať na mieste jednotiek 0​, takisto výsledok 20 krát hocijaké jednociferné číslo bude mať na mieste jednotiek 0​. Miesto jednotiek nám teda ovplyvňuje iba 16​ a preto si dosadíme za b​ číslo 6, a ďalej roznásobujeme a sčítavame:

100 \cdot 7 + 10 \cdot a + 6 = 200 \cdot a + 20 \cdot 6 + 16,

700 + 10 \cdot a + 6 = 200 \cdot a + 120 + 16,​

706 + 10 \cdot a = 200 \cdot a + 136.​​

Teraz z oboch strán rovnice odpočítame 10 \cdot a \text{ a } 136​, vznikne nám teda:

570 = 190 \cdot a.​​

Vydelíme 190​ a získame hodnotu a:

3 = a.​

Ak si do zápisu pôvodného čísla dosadíme vzniknuté a \text{ a } b​ dostaneme:

10 \cdot 3 + 6 = 36.​

Správnosť tohoto riešenia si môžeme skontrolovať, tým že si pred neho pripíšeme číslicu 7​ a porovnáme s číslom, ktoré vznikne keď za pôvodné číslo pripíšeme číslicu 8​. Vzniknú nám čísla 736 \text{ a } 368​. Číslo 736​ je dvakrát také veľké číslo ako 368​, teda naše riešenie je správne.

Odpoveď: Cena nafty, ktorú natankovala prostredná stíhačka je 36.