8. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Nech k a d sú kladné celé čísla. Teraz si zoberme nejaké kladné celé číslo. V jednom kroku k nemu môžeme buď pripočítať k, alebo ho vydeliť d. Urobíme 3 takéto kroky.
Nech by sme si hocijako vybrali jednotlivé kroky, vždy by sme dostali iba celé čísla. Najväčšie číslo, ktoré vieme na konci dosiahnuť, je 108, a tiež vieme dosiahnuť aj číslo 2. Aké je začiatočné číslo?
Vzorové riešenie
Označme začiatočné číslo ako x. Všimnime si, že krok, v ktorom delíme číslom d nám určite nezväčší medzivýsledok (zmenší ak d \gt 1, nezmení ak d=1). Preto jediný spôsob ako zväčšiť medzivýsledok je pripočítaním k, a teda najväčšie výsledné číslo dostaneme, keď v každom kroku pripočítame k. Keďže zo zadania vieme, že najväčšie dosiahnuteľné číslo je 108, tak musí platiť x+3k=108.
Odtiaľ dostávame x=108-3k odkiaľ je jasné, že x \lt 108. Všimnime si, že pravá strana rovnice je deliteľná 3, preto x=3(36-k). Odtiaľ vidíme, že x musí byť násobkom čísla 3. Všimnime si, že toto nám hovorí, že 3 \leq x \lt 108.
Najmenšie výsledné číslo dosiahneme troma deleniami, lebo ak by sme v nejakom kroku použili namiesto delenia pripočítanie, medzivýsledok by sa zväčšil. Preto najmenšie dosiahnuteľné číslo je x:d^3 . Ak by sme vedeli, že najmenší dosiahnuteľný výsledok po troch krokoch je číslo 2, potom by sme mohli hneď povedať (rovnako ako v predchádzajúcom odseku pri najväčšom dosiahnuteľnom čísle), že platí x : d^3 =2. Toto však teraz nevieme, keďže v zadaní sa píše iba to, že číslo 2 vieme dosiahnuť.
Predpokladajme, že existujú čísla x, k, d také, že sú splnené podmienky zadania a vieme dosiahnuť výsledok 1. Najprv si všimnime že x nemôze byť 1, keďže x \geq 3. Ak by sme vedeli dosiahnuť 1 ako medzivýsledok v, znamenalo by to, že d>1, keďže dokážeme x zmenšiť. Zo zadania vieme, že všetky dosiahnuteľné výsledky sú celé kladné čísla. To je však spor s v=1 lebo v:d \lt 1. Toto nám hovorí, že ak dokážeme dosiahnuť 1, musí to byť po poslednom kroku.
Zjavne 1 je najmenší výsledok, preto sme ho museli dostať troma deleniami, teda platí x/d^3 =1, z čoho x=d^3. Keďže x musí byť násobkom čísla 3, tak aj samotné d musí byť násobkom čísla 3. Všimnime si, že ak d je viac ako 4, tak d^3 bude väčšie ako 108, čo sa nemôže stať. Preto d musí byť jedine 3, z čoho následne x=27 a dopočítaním k=27 z rovnice x+3k=108.
Vieme však s týmito číslami dosiahnuť výsledok 2, ako zadanie požaduje? Pozrime sa na to. Ak by posledný krok bolo pripočítavanie, výsledok by bol väčší ako 27, preto ak chceme dosiahnuť výsledok 2 posledný krok musí byť delenie číslom 3. Preto medzivýsledok po druhom kroku musí byť 6. Ak by druhý krok bolo pripočítavanie, tak by tento medzivýsledok bol väčší ako 27, preto druhý krok musí byť tiež delenie. Teda medzivýsledok po prvom kroku dvakrát vydelený číslom 3 nám má dať výsledok 2, to znamená, že medzivýsledok po prvom kroku musí byť 18. Keďže začiatočné číslo je 27 a v prvom kroku máme na výber ho buď deliť troma alebo k nemu pripočítať 27, tak vidíme, že hľadaný medzivýsledok 18 nevieme dostať. Vidíme tak, že pre čísla x=27, d=3, k=27 nevieme dosiahnuť výsledok 2, a preto náš predpoklad, že výsledok 1 vieme dosiahnuť musel byť nesprávny.
Predpokladali sme teda, že výsledok 1 vieme dostať, čo nás doviedlo k sporu. Preto výsledok 1 po troch krokoch dostať nemôžeme, a teda výsledok 2 je skutočne najmenší dosiahnuteľný výsledok. Preto platí x:d^3 =2, keďže najmenšie číslo dosiahneme práve troma deleniami. Z toho plynie x=2d^3. Rovnako ako vyššie, keďže x je násobok čísla 3 a musí byť menšie ako 108 (čo vyplýva z rovnice x+3k=108), tak jediné vyhovujúce d je d=3, z čoho následne dostávame x=54 a k=18. Ostáva skontrolovať, či daná trojica skutočne spĺňa všetky podmienky zadania.
Nech „d“ značí krok, v ktorom sme delili a nech „k“ značí krok, v ktorom sme pripočítavali.
| Kroky | Výsledok |
|---|---|
| k, k, k | 108 |
| k, k, d | 30 |
| k, d, k | 42 |
| d, k, k | 54 |
| k, d, d | 8 |
| d, k, d | 12 |
| d, d, k | 24 |
| d, d, d | 2 |
Vidíme tak, že všetky výsledky sú celé, pričom 108 je najväčší, a výsledok 2 bol dosiahnutý. Preto čísla x=54, d=3, k=18 vyhovujú podmienkam zadania, a teda začiatočné číslo muselo byť iba 54.
Odpoveď: Začiatočné číslo bolo 54.
Komentár
Väčšina z vás našla správny výsledok. Veľa z vás však preskočilo úvahu o tom, že 2 nemusí byť najmenšie číslo, čo značne zjednodušilo tento príklad.