7. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

V hoteli bolo v prvý deň ubytovaných niekoľko Arabov, každý deň sa však niekoľko z nich nevrátilo z druhého poschodia a tak ich zostalo menej. Ich počet na začiatku bolo trojciferné číslo tvorené navzájom rôznymi nenulovými ciframi. Počas nasledujúcich dní sme postupne dostali všetky počty, ktoré mali tie isté číslice ako ten pôvodný, ale v inom poradí.

Priemerný počet Arabov za všetky dni, čo tam boli, je 370. Priemerný počet iba za posledné tri dni bol 205. Koľko ich bolo na začiatku?

Vzorové riešenie

Opravovali: JakubK, MartinŠ, rudolfkusy

Cifry počtov Arabov si označíme A, B, C a keďže sú rôzne, tak nech pre ne platí A \gt B \gt C. Vieme z nich vytvoriť 6 rôznych čísel - ABC, ACB, BAC, BCA, CAB a CBA. 

Pri porovnávaní týchto čísel začneme s cifrou na mieste stoviek. Takže čísla s prvou cifrou A budú najväčšie, čísla s prvou cifrou B budú menšie a čísla s prvou cifrou C budú najmenšie. Čísla s prvou rovnakou cifrou vieme porovnať pomocou 2. cifry. Čísla s druhou cifrou A budú väčšie ako s druhou cifrou B alebo C a čísla s druhou cifrou B budú väčšie ako čísla s druhou cifrou C. Takže počty Arabov sú zoradené nasledovne: ABC \gt ACB \gt BAC \gt BCA \gt CAB \gt CBA.

Keďže priemerný počet Arabov je počas šiestich dní je 370, tak celkový počet Arabov počas celého pobytu je 6 \cdot 370 = 2220. Počet Arabov počas celého pobytu sa ale tiež rovná:

  ABC + ACB + BAC + BCA + CAB + CBA =

​= (100 \cdot A+10 \cdot B+C)+(100 \cdot A+10 \cdot C+B)+(100 \cdot B+10 \cdot A+C)+(100 \cdot B+10 \cdot C+A)+(100 \cdot C+10 \cdot A+B)+(100 \cdot C+10 \cdot B+A) =

= 222 \cdot A + 222 \cdot B + 222 \cdot C

Takže dostávame: 222A+222B+222C = 2220 . Predelením 222 dostávame A + B + C = 10.

Priemerný počet Arabov za posledné tri dni je 205 a dá sa zapísať takto:

\dfrac{BCA + CAB + CBA}{3} = 205\\[8pt] \dfrac{(100 \cdot B + 10 \cdot C + A) + (100 \cdot C + 10 \cdot A + B) + (100 \cdot C + 10 \cdot B + A)}{3} = 205\\[8pt] \dfrac{111 \cdot B + 210 \cdot C + 12 \cdot A}{3} = 205\\[8pt] 37 \cdot B + 70 \cdot C + 4 \cdot A = 205\\ 33 \cdot B + 66 \cdot C + 4 \cdot (A + B + C) = 205\\ 33 \cdot B + 66 \cdot C + 40 = 205\\ 33 \cdot B + 66 \cdot C = 165\\ B + 2 \cdot C = 5

Teraz sa pozrieme na všetky hodnoty, ktoré C môže nadobúdať:

  • Ak C \geq 3, tak potom 2C \geq 6 a dosadením 2C do rovnice dostaneme B + aspoň 6 = 5, čo nevyhovuje zadaniu, lebo B by muselo byť záporné.
  • Ak C = 2, tak 2C = 4 a dosadením 2C do rovnice dostaneme B + 4 = 5, takže B = 1, ale to je spor s A > B > C.
  • Ak C = 1, tak 2C = 2 a dosadením 2C do rovnice dostaneme B + 2 = 5, takže B = 3. Dosadením B = 3 a C = 1 do A + B + C = 10, dostaneme A + 3 + 1 = 10, takže A = 6.

Odpoveď: Počet Arabov na začiatku je 631.

Komentár

Veľa z vás v niektorej časti riešenia vyskúšalo všetky možnosi (napríklad všetky rozloženia čísel A + B + C = 10​). Toto nie je zlý postup, ale u veľa z vás spôsobil chyby, keď ste zabudli prejsť niektorú možnosť (hlavne ak ste začali skôr a možností bolo viac).