6. príklad - Vzorové riešenie

Označíme AD \cap BE = K, BE \cap CF = L, CF \cap DG = M a CF \cap DA = N. Ďalej uhol v cípe pri vrchole A označíme \sphericalangle A, uhol v cípe pri vrchole B označíme \sphericalangle B, atď.

Pozrime sa na trojuholník AEK, keďže súčet vnútorných uhlov v trojuholníku je 180 \degree, tak platí rovnosť 180 \degree = |\sphericalangle A| + |\sphericalangle E| + |\sphericalangle AKE|, teda |\sphericalangle AKE| = 180 \degree - |\sphericalangle A| - |\sphericalangle E|. Keďže A, K, D ležia na priamke, tak |\sphericalangle AKD| = 180 \degree, ale taktiež |\sphericalangle AKD| = |\sphericalangle AKE| + |\sphericalangle EKD|, čiže dostávame 180 \degree = |\sphericalangle AKE| + |\sphericalangle EKD|, po dosadení |\sphericalangle AKE| = 180 \degree -|\sphericalangle A| - |\sphericalangle E| a upravení dostávame |\sphericalangle EKD| = |\sphericalangle A| + |\sphericalangle E|.

Analogicky z trojuholníka BFL dostávame |\sphericalangle BLC| = |\sphericalangle B| + |\sphericalangle F| a z trojuholníka CGM dostávame |\sphericalangle CMD| = |\sphericalangle C| + |\sphericalangle G|.

Teraz však poznáme 2 vnútorné uhly trojuholníka MND, takže postupom ako doteraz dostaneme |\sphericalangle LNK| = |\sphericalangle CMD| + |\sphericalangle NDM| = |\sphericalangle G| + |\sphericalangle C| + |\sphericalangle D|.

|\sphericalangle BLC| = |\sphericalangle KLN|, lebo K \in LB a N \in CL. Rovnako |\sphericalangle EKD| = |\sphericalangle LKN|, lebo L \in KE a N \in DK. Teraz keď sa pozrieme na vnútorné uhly trojuholníka KLN, tak dostaneme 180 \degree = |\sphericalangle LKN| + |\sphericalangle KNL| + |\sphericalangle NLK| = |\sphericalangle A| + |\sphericalangle E| + |\sphericalangle G| + |\sphericalangle C| + |\sphericalangle D| + |\sphericalangle B| + |\sphericalangle F|, čo je súčet všetkých uhlov v cípoch sedemcípej hviezdy.

Čo ak body K, L, N ležia na priamke a teda netvoria trojuholník? Keďže L \in BE \cap CF a N \in DA \cap CF, tak aj K \in CF, lebo body L a N už definujú priamku. Ale K \in AD \cap BE, takže priamky AD, BE, CF sa pretnú v jednom bode a teda body K, L, M sú jeden bod. Potom |\sphericalangle EKD| = |\sphericalangle AKB|, lebo sú vrcholové, |\sphericalangle BLC| = |\sphericalangle BKC|, lebo L = K, z trojuholníka MDK platí, že |\sphericalangle MKA| = |\sphericalangle D| + |\sphericalangle CMD| a |\sphericalangle MKA| = |\sphericalangle FKA|, lebo K, M, F ležia na priamke. Uhly |\sphericalangle FKA|, |\sphericalangle AKB| a |\sphericalangle BKC| v súčte majú 180 \degree , lebo tvoria priamku CF, ale zároveň majú súčet všetkých vnútorných uhlov sedemcípej hviezdy, ich veľkosti poznáme z predošlých odsekov.

Trikové riešenie

Pozrime sa na úsečku AD, jej otočením o |\sphericalangle D| v smere hodinových ručičiek sa nám zobrazí do GD. Otočením GD o |\sphericalangle G| v smere hodinových ručičiek sa nám zobrazí do GC. Otočením GC o |\sphericalangle C| v smere hodinových ručičiek sa nám zobrazí do FC. Otočením FC o |\sphericalangle F| v smere hodinových ručičiek sa nám zobrazí do FB. Otočením FB o |\sphericalangle B| v smere hodinových ručičiek sa nám zobrazí do EB. Otočením EB o |\sphericalangle E| v smere hodinových ručičiek sa nám zobrazí do EA. Otočením EA o |\sphericalangle A| v smere hodinových ručičiek sa nám zobrazí do DA.

Celkovo sme úsečku AD otočili o súčet vnútorných uhlov v cípoch. Otáčali sme úsečku stále tým istým smerom a úsečka AD sa zobrazila do DA, to znamená, že sme ju celkovo otočili o 180 \degree + n \times 360 \degree. Pri zobrazovaní bodu A(G, F, E), sme nikdy neprekročili bod D, teda sme nemohli presiahnuť 360 \degree a teda súčet vnútorných uhlov musí byť 180 \degree.

Odpoveď: Súčet vnútorných uhlov sedemcípej hviezdy je 180\degree.